Powrót
 

Szkic rozwiązania

Niech $ Y(r,s)$ będzie transformatą Laplace'a funkcji$ u(r,t)$ względem zmiennej $ t$. Wtedy $ Y(r,s)$ spełnia równanie
$\displaystyle \frac{\partial^{2}Y}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial Y}{\partialr}-\frac{s}{k}Y=0.$
Rozwiązaniem tego równania spełniającym jednocześnie warunek brzegowy jest funkcja 
$\displaystyle Y(r,s)=\frac{V_{0}}{s}\frac{J_{0}(qr)}{J_{0}(qa)},$ gdzie $\displaystyle %%q=\sqrt{-\frac{s}{k}}.$
Odwracając transformatę Laplace'a np. za pomocą twierdzenia o residuach, otrzymujemy ostatecznie wzór na rozwiązanie zagadnienia
$\displaystyle u(r,t)=V_{0}\left[ 1-2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{J_{0}\left......ght) }{x_{n}J_{1}(x_{n})}e^{-\left( \frac{x_{n}}%%{a}\right) ^{2}kt}\right] ,$
gdzie $ \left( x_{n}\right) $ jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessela $ J_{0}.$