Powrót
 

Zagadnienie II

Rozważamy walec o promieniu $ a,$ którego osią jest $ Oz$. Niech $ u=u(r,t)$ oznacza temperaturę punktu walca oddalonego od jego osi o$ r$, w chwili $ t$. Funkcja ta spełnia równanie przewodnictwa postaci
$\displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}......}{k}\frac{\partial u}{\partial t}\text{ \ \ dla }r\in\lbrack0,r),\text{ }t>0.$
Załóżmy, że powierzchnia boczna walca utrzymywana jest w temperaturze $ V_{0}$, a więc spełniony jest jednorodny warunek brzegowy
$\displaystyle u(r,t)=V_{0}>0$ dla $\displaystyle r=a,$$\displaystyle t>0.$
Zakładamy również spełnienie jednorodnego warunku początkowego
$\displaystyle u(r,0)=0$ dla $\displaystyle 0\leq r<a,$
Szkic rozwiązania

Rozwiązanie rozważanego zagadnienia wyraża się wzorem

$\displaystyle u(r,t)=V_{0}\left[ 1-2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{J_{0}\left......ght) }{x_{n}J_{1}(x_{n})}e^{-\left( \frac{x_{n}}%%{a}\right) ^{2}kt}\right] ,$
gdzie $ \left( x_{n}\right) $ jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessela $ J_{0}.$

Przykład obliczeniowy