Inclusion operators in Hölder spaces of variable order

The Hölder space $C^{\alpha} for an order $0<\alpha\leq 1$ is the Banach space consisting of continuous functions $f$ with bounded variation $\vert f(x)-f(y)\vert \leq M\vert x-y\vert^{\alpha}. The Hölder spaces are nested in the sense that $C^{\beta}\subset C^{\alpha}$ when $\beta > \alpha$. Also, the inclusión operator is compact. A generalization of this spaces han be considered when taking a function $\alpha(\cdot)$ instead of a constant $\alpha$. We try to find criteria for the compactness of the inclusion between variable order Hölder spaces. To do so, we look at some results found for the inclusions between variable exponent Lebesgue spaces. This talk collects the work done and the results obtained with Przemek Gorka in my 3 months research stay, here in Warsaw.

Mathematical model of stem cell specification in a growing domain on example of arabidopsis thaliana

Coordination of fate transition and cell division is crucial to maintain the plant architecture and to achieve efficient production of plant organs. We designed a mathematical model to elucidate the impact of hormonal signalling on the fate transition rates between different zones corresponding to slowly dividing stem cells and fast dividing transit amplifying cells. The model is based on a simplified two-dimensional disc geometry of the shoot apical meristem (SAM) and accounts for a continuous displacement towards the periphery of cells produced in the central zone. In this presentation, we will study a mathematical framework for analysis and simulation of development of stem cell based, growing organs with cell self-renewal and differentiation regulated by signalling factors. Considered model consists of PDEs which describe concentrations of signals in the moving domain $\Omega(t)$ and ODEs. One of the ODEs describes the evolution of domain $\Omega(t)$. The main novelty of our work is a coupling between PDEs solutions and deformation of the domain. Assuming that $\Omega(t)$ is a disc and it is changing uniformly in all directions we are able to prove the existence and uniqueness of the solution. The model is tested by simulating perturbations in the level of key transcription factors that maintain SAM homeostasis. The model provides new insights on how the transcription factor HECATE is integrated in the regulatory network that governs stem cell differentiation.

Jądra reprodukujące a minimalne rozwiązania równań eliptycznych

Można udowodnić, że w zbiorze całkowalnych z kwadratem na jakimś obszarze rozwiązań równania eliptycznego, które w ustalonym punkcie przyjmują wartość c, o ile jest niepusty, znajduje się dokładnie jeden element o minimalnej normie L^2. Co więcej, ten element zależy w sposób ciągły od deformacji iloczynu skalarnego, tzn. od wagi całkowania oraz od obszaru całkowania, tzn. od dziedziny, na której określone są nasze rozwiązania. Ponadto w szczególnym przypadku równania Laplace'a można podać górne oszacowanie na tak rozumiane "minimalne rozwiązanie". Wszystko to będzie zrobione z wykorzystaniem teorii przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym.

Lokalizacja wielowymiarowa i optymalny transport miar wektorowych

Lokalizacja jest ważnym narzędziem służącym do dowodzenia różnych nierówności geometrycznych. Klartag pokazał, jak optymalny transport pozwala na zastosowanie lokalizacji w przypadku ważonych rozmaitości riemannowskich, i postawił dwie hipotezy dotyczące uogólnienia jego metody na przypadek wielowymiarowy. Pokażemy, że to uogólnienie jest ono naturalnie powiązane z optymalnym transportem miar wektorowych i odwzorowaniami lipschitzowskimi o wartościach wektorowych. Przedstawimy ponadto częściowe rozstrzygnięcie wspomnianych hipotez: częściowe potwierdzenie hipotezy dotyczącej podziałów związanych z przekształceniami lipschitzowskimi przestrzeni Euklidesowych oraz negatywną odpowiedź na hipotezę dotyczącą warunku równoważenia masy dla miar wektorowych absolutnie ciągłych. Podczas referatu omówię także pojęcie podprzestrzeni widmo, które odgrywa ważną rolę w rozważanych podziałach.

Angiogeneza i oporność na chemioterapię: Optymalizacja harmonogramu chemioterapii za pomocą modelowania matematycznego

Rozważane są modele wzrostu guza opornego na chemioterapię z uwzględnieniem sygnalizacji angiogenicznej. Modele opierają się na modelu zaproponowanym przez Hahnfeldta et al. (1999) i obejmują podział komórek nowotworowych na populacje wrażliwych i opornych. Badany jest wpływ leczenia antyangiogennego w połączeniu z chemioterapią. Głównym celem jest zbadanie, jak czułe są teoretycznie optymalne protokoły na zmiany parametrów określających ilościowo interakcje między wrażliwymi i opornymi komórkami nowotworowymi, tj. wykonywana jest analiza wrażliwości modeli na współczynniki konkurencji i szybkości mutacji, oraz czy włączenie leczenia antyangiogennego wpływa na te wyniki. Bada się globalne istnienie i stabilność rozwiązań, bifurkacje (w tym bistabilność i histerezę) w odniesieniu do dawki chemioterapii. Rozważane są dwa problemy optymalizacji. W pierwszym zagadnieniu optymalizuje się stałą, ciągłą dawkę chemioterapii, i maksymalizuje się czas potrzebny do osiągnięcia przez guz krytycznej (śmiertelnej) objętości. Wykazano, że maksymalny czas przeżycia uzyskuje się na ogół dla średniej dawki leku. Ponadto współczynniki konkurencji mają bardziej widoczny wpływ na czas przeżycia niż współczynniki mutacji. W drugim problemie rozważane jest optymalne dawkowanie w krótkim, 30-dniowym okresie czasu. Sformułowany został nowy funkcjonał celu uwzględniający karę za lekooporność. Na tej podstawie wykazano, że po początkowej pełnej dawce leku, optymalne jest podawanie dawki pośredniej. Co więcej, częstość mutacji odgrywa ważną rolę w decydowaniu, który protokół krótkoterminowy jest optymalny.

Entropy solutions in nonlinear thermoelasticity

Ciągłość funkcji maksymalnej Hardego-Littlewooda w uogólnionych przestrzeniach Sobolewa

On autonomous dynamical system related to Relaxed Haugazeau scheme

In this seminar we present an autonomous ODE with vector field defined on a particular closed, bounded set in Hilbert space. The main assumptions on the vector field are: it is only continuous in stationary point and locally Lipschitz continuous elsewhere. We will present the proofs of the existence, uniqueness and extandibility of the solutions on the half-line. Then we will relate the corresponding dynamical system with Haugazeau algorithm for finding a point from a closed set. These methods use projection of a given starting point onto moving sets. In the end of this talk we will present some sufficient results under which we ensure that the projection onto moving polyhedral set is locally Lipschitz.

Geometria poziomic funkcji harmonicznych na dwuwymiarowych gładkich i osobliwych rozmaitościach

Przedstawimy wyniki dotyczące funkcji długości poziomic oraz jej pochodnych dla rozwiązań równania Beltramiego-Laplaca na dwuwymiarowych rozmaitościach Riemannowskich oraz na powierzchniach Aleksandrowa, w tym nierówności izoperymetryczne. Omówimy również krzywiznę geodezyjną poziomic i równania oraz nierówności różniczkowe, które spełnia.

Rozwiązania formalne i analityczne równań moment-różniczkowych cząstkowych

Układ paraboliczno-eliptyczny modelujący biologiczne kanały jonowe

Prandtl's spirals

Istnienie rozwiązania w modelu termo-plastycznym z nieliniowym wyrazem tłumiącym

Oszacowania potencjalne dla rozwiązań równań i układów równań z niestandardowym wzrostem

Referat będzie poświęcony regularności dla zagadnień z miarowymi danymi typu eliptycznego, drugiego rzędu w postaci dywergentnej, gdzie główna część operatora zależy w sposób mierzalny od zmiennej przestrzennej, a wzrost ze względu na gradient rozwiązania jest zadany przez funkcje wypukłe spełniające warunek podwajania. Tak jak w przypadku p-Laplasjanu, co prawda rozwiązania mogą być nieograniczone, ale można pokazać punktowe oszacowania dla rozwiązań przy użyciu pewnego nieliniowego potencjału. Oszacowania, które pokazaliśmy są precezyjne i mają cały szereg konsekwencji dla lokalnych własności rozwiązań takich jak ciągłość czy holderowska ciągłość przy naturalnych założeniach na klasy miar. Praca o równaniach została przygotowana we współpracy z Flavią Giannetti i Anną Zatorską-Goldstein, a o układach równań z Yeonghunem Younem i Anną Zatorską-Goldstein.

Eliptyczność w geometrycznych zagadnieniach wariacyjnych

By a geometric variational problem I mean a problem of minimising a functional defined on k-dimensional geometric objects, like currents or varifolds, lying in n-dimensional ambient space. I focus on functionals defined as integrals, where the integrand depends on the point and the tangent k-plane at that point. One example is the k-dimensional Hausdorff measure generated by some non-Euclidean norm on 𝐑ⁿ. Ellipticity (AE), introduced by Almgren in the 1960s, is a condition on the functional ensuring existence and partial regularity of minimisers. The atomic condition (AC) was defined a few years ago by G. De Philippis, A. De Rosa, and F. Ghiraldin so to ensure rectifiability of critical points. Together with A. De Rosa we proved that (AC) implies (AE). The problem with this theory is that there are virtually no specific non-trivial examples of functionals satisfying any of (AE) or (AC). A. De Rosa and R. Tione proposed recently the scalar atomic condition (SAC) which might be easier to verify. In my talk I shall review definitions, properties, and relations between conditions (AE), (AC), and (SAC). I shall talk about my joint work with A. De Rosa (CPAM 2020) and also about ongoing work with my student Mariusz Janosz.

Funkcje p-harmoniczne

Istnienie rozwiązań dla quasi-statycznych modeli lepkoplastyczności

Przestrzenie mieszane Lebesgue'a

Funkcja maksymalna w przestrzeniach Höldera ze zmiennym wykładnikiem