Koncentracja i stabilność rozwiązań równań agregacji-dyfuzji

Celem odczytu będzie opis wyników otrzymanych przeze mnie w niedawno złożonej rozprawie doktorskiej, która składa się z trzech powiązanych ze sobą tematów. Pierwsza część poświęcona jest ewolucyjnemu równaniu agregacji-dyfuzji dla gęstości u, rozważanemu w całej przestrzeni, gdzie agregacja jest wyrażona przez splot z singularnym jądrem. Głównym rezultatem jest opis zachowania rozwiązań tego równania dla „małej" dyfuzji, wyrażonej przez człon εΔu dla małych wartości ε>0. W drugiej części opisuję rozwiązania specjalne dla szerszej klasy w/w równań. Ostatnia część traktuje o modelu chemotaksji rozważanym w jednorodnie lokalnych przestrzeniach Lp, gdzie opisuję swój wkład do wyników uzyskanych w pracy https://doi.org/10.1007/s00028-021-00735-w.

Nowe spojrzenie na potok przekształceń p-harmonicznych

Potok przekształceń p-harmonicznych to problem ewolucyjny dla przekształceń u : M → N między dwiema danymi rozmaitościami, tak zdefiniowany, by p-energia Dirichleta (całka z p-tej potęgi gradientu) malała w czasie. Jest on przydatny w badaniu przekształceń p-harmonicznych, ponieważ są to jego rozwiązania stacjonarne. Dzięki pracom Eellsa-Sampsona ('64), Chen-Struwego ('89) i późniejszym dużo wiemy o szczególnym przypadku p=2, ale w ogólnym przypadku nadal wiele pytań pozostaje otwartych. Oprócz trudności związanych z operatorem p-Laplace'a, główną przeszkodą wydaje się być brak lokalnej formuły monotonicznej, którą dla p=2 wyprowadził Struwe. Opiszę nowe sformułowanie potoku przekształceń p-harmonicznych, alternatywne względem tego dotychczas rozważanego w literaturze, wykorzystujące jednorodny operator p-Laplace'a. To jednorodne sformułowanie pozwala wyprowadzić formułę monotoniczną à la Struwe, ale niesie ze sobą nowe fundamentalne wyzwania. Referat oparty jest na pracy wspólnej z Erikiem Huppem (arXiv:2308.16096).