Dalsze własności asymptotyczne podgrzanej struny

Przedstawię wyniki wspólnej pracy z Jackiem Jendrejem i Christianem Stinnerem dotyczące asymptotycznych własności rozwiązań układu równań podgrzanej struny. Z pracy Bies/Cieślak, Math. Ann. (2025) wiadomo, że rozwiązanie asymptotycznie dąży do płaskiej struny z równomiernie rozłożoną temperaturą, ponadto, cała energia mechaniczna przechodzi asymptotycznie w ciepło. Powstają naturalne pytania: 1) Jak szybko zachodzą wspomniane procesy? 2) Czy mamy do czynienia z wygładzaniem rozwiązań? W serii dwóch referatów odpowiem na obydwa pytania. W pierwszym obejrzymy problem od strony fourierowskiej, aby dokładnie zrozumieć półgrupę wynikającą z linearyzacji oraz zastanowimy się jakich oszacowań potrzeba, aby rozwiązać nieliniowe właściwe zagadnienie.

Nonlinear Fisher information and its application to 1D critical quasilinear fully parabolic Keller-Segel system

In this talk, we investigate the time evolution of Fisher information, which is known as the entropy production, for nonlinear diffusion equations on bounded domains with Neumann boundary conditions, extending classical results for the linear heat equation and the porous medium equation on the whole space. In particular, we introduce an alternative formulation of one-dimensional nonlinear Fisher information that reveals its time monotonicity. As an application, the existence of global solutions to the one-dimensional critical quasilinear fully parabolic Keller–Segel system with nonlinear diffusion and nonlinear sensitivity is studied. This is based on joint work with Tomasz Cieślak (IMPAN, Poland) and Kentaro Fujie (Tohoku University, Japan).

Rozwiązania entropijno-energetyczne dla układów termo-niesprężystych typu Mroza-kontynuacja

W referacie przedstawię model opisujący zachowanie ciała przewodzącego ciepło z nieliniowymi efektami niesprężystymi typu Mroza. Model ten jest zgodny z zasadami termodynamiki i uwzględnia zależność od temperatury zarówno w częściach sprężystych, jak i niesprężystych praw konstytutywnych. Wprowadzona zostanie koncepcja rozwiązania słabego w sensie entropijno-energetycznym, które spełnia równanie entropii zamiast równania bilansu energii wewnętrznej. Pomimo braku korzystnych własności strukturalnych, takich jak efekty typu Kelvina–Voigta czy uproszczenia eliminujące temperaturę z praw konstytutywnych, udowodnimy istnienie globalnego w czasie rozwiązania.

Rozwiązania entropijno-energetyczne dla układów termo-niesprężystych typu Mroza

W referacie przedstawię model opisujący zachowanie ciała przewodzącego ciepło z nieliniowymi efektami niesprężystymi typu Mroza. Model ten jest zgodny z zasadami termodynamiki i uwzględnia zależność od temperatury zarówno w częściach sprężystych, jak i niesprężystych praw konstytutywnych. Wprowadzona zostanie koncepcja rozwiązania słabego w sensie entropijno-energetycznym, które spełnia równanie entropii zamiast równania bilansu energii wewnętrznej. Pomimo braku korzystnych własności strukturalnych, takich jak efekty typu Kelvina–Voigta czy uproszczenia eliminujące temperaturę z praw konstytutywnych, udowodnimy istnienie globalnego w czasie rozwiązania.

Odwzorowania harmoniczne między płaszczyznami Grushina

Podczas referatu wprowadzimy pojęcie przestrzeni Grushina, a także pokażemy naturalny związek z rozmaitościami Riemannowskimi o zadanym tensorze metrycznym. Na tej podstawie wyprowadzimy energię Dirichleta, układ równań Eulera-Lagrange oraz dwa słabe sformułowania. Na koniec przedstawimy przykłady rozwiązań oraz nierówności typu Caccioppoli. Okazuje się, że odwzorowania holomorficzne, złożone z naturalnymi quasi-symetriami, są Grushin-Harmoniczne w zbiorze regularnym.