Symetria w kryształach


Jednym z ważniejszych zastosowań algebry w naukach przyrodniczych jest wykorzystanie metod algebraicznych do badania symetrii różnych układów fizycznych i chemicznych.

Cóż to jest symetria?

Starożytni rozumieli ją jako synonim piękna, harmonii i umiaru, czegoś co zachowuje właściwe proporcje. Idea za pomocą, której człowiek starał się tworzyć doskonałość.

Symetrie
Ze względu na swoją symetrię koło na płaszczyźnie i kula w przestrzeni były uważane przez Pitagorejczyków za najdoskonalsze figury geometryczne. Innymi obiektami geometrycznymi, w których podziwiamy symetrię są wielokąty foremne.
Z drugim znaczeniem, jakie ma symetria, kojarzy się w naturalny sposób obraz równowagi na przykład lewego z prawym, widoczny między innymi w budowie organizmów żywych. Takie pojmowanie symetrii jest pojęciem czysto geometrycznym. Na początek przyjrzyjmy się trójkątowi równobocznemu. Znajdźmy wszystkie izometrie płaszczyzny, które przekształcają ten trójkąt na ten sam trójkąt (czyli tzw. izometrie własne trójkąta). Będą to

Izometria
Izometria (przekształcenie izometryczne) jest to przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość. To znaczy, że odległość dowolnych punktów równa jest odległości ich obrazów. Przykładami izometrii na płaszczyźnie i w przestrzeni są między innymi przesunięcia równoległe (translacje), obroty, symetrie osiowe czy też symetrie środkowe. Izometrią jest także odwzorowanie identycznościowe. Ponadto złożenie dwu izometrii jest również izometrią.
Nietrudno zauważyć, że złożenie dowolnych dwóch takich izometrii jest również izometrią trójkąta równobocznego. Ponadto traktując identyczność jako obrót o $360^$ otrzymujemy, że złożenie dwóch dowolnych obrotów trójkąta jest także obrotem.

Składanie izometrii możemy opisać przy pomocy tabelki. Dla trójkąta równobocznego ma ona następującą postać:

Możemy z niej odczytać wynik złożenia dowolnych dwóch przekształceń. Na przykład złożenie obrotu $O_1$ z symetrią $S_a$ jest symetrią $S_c$.

Zbiór wszystkich obrotów trójkąta równobocznego lub zbiór wszystkich jego izometrii własnych wraz z operacją składania przekształceń stanowią przykład struktury, którą matematycy nazywają grupą. Od tej chwili będziemy zatem mówić o grupach obrotów, grupach izometrii własnych bądź ogólnie o grupach przekształceń.

Rozpatrzmy teraz dowolny $n$-kąt foremny.

n-kąt
n-kąt foremny to wielokąt o $n$ bokach, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty między sąsiednimi bokami równe.


Okazuje się, że grupa $D_n$ izometrii własnych $n$-kąta foremnego złożona jest z $n$ obrotów wokół punktu $O$ o wielokrotność kąta $\alpha={360^\circ\over n}$. Są to tak zwane obroty właściwe. Pozostałe elementy grupy $D_n$ to złożenia obrotów właściwych i odbicia względem osi przechodzącej przez środek wielokąta oraz jeden jego wierzchołek. Są to tak zwane obroty niewłaściwe. Znajomość grupy $D_n$ pozwala stwierdzić, że na płaszczyźnie istnieją dwa rodzaje skończonych grup obrotów. Są to grupy $C_n$ złożone tylko z obrotów właściwych oraz grupy $D_n$.

Grupy izometrii
Grupa izometrii własnych trójkąta równobocznego oznaczana jest symbolem $D_3$ a grupa izometrii własnych kwadratu $D_4$, natomiast grupy ich obrotów odpowiednio $C_3$ i $C_4$.
Podstawowe grupy
Grupa $C_1$ jest jednoelementowa, złożona tylko z identyczności, grupa $C_2$ składa się z obrotów o kąt $360^\circ$ i $180^\circ$, elementami grupy $D_1$ są identyczność i jedna symetria osiowa. Natomiast grupa $D_2$ jest identyczna z grupą izometrii własnych prostokąta.


Jak właśnie zaobserwowaliśmy, wielokąty foremne są powiązane ze skończonymi grupami obrotów płaskich. Podobnie wielościany foremne będą powiązane ze skończonymi grupami obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Inne fascynujące przykłady symetrii możemy znaleźć w:

Już po tych kilku przykładach możemy się przekonać, że grupy stanowią potężne narzędzie poznania jednej z największych zasad otaczającego nas świata - zasady symetrii.



[ Początek strony ] [ MiNIWykłady ]

Wszystkie prawa zastrzeżone © 2000 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej