Grupy

Doskonale znamy cztery podstawowe działania określone na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Każdej parze liczb możemy przyporządkować ich sumę, różnicę, iloczyn bądź iloraz (gdy dzielnik jest różny od zera). Ale na przykład odejmowanie lub dzielenie wykonane w zbiorze liczb naturalnych może dać wynik nie należący do tego zbioru. Np. w wyniku odejmowania 2-3 otrzymujemy liczbę -1, która nie jest oczywiście liczbą naturalną, podobnie $3/5$.

Powiemy, że w zbiorze $A$ określone jest działanie (oznaczmy je symbolem $\circ$), jeśli dwóm dowolnym elementom $a$ i $b$ z tego zbioru, przyporządkujemy jakiś element $a\circ$b też z tego zbioru.

Działania w zbiorach liczb
W zbiorze liczb naturalnych określone są dodawanie i mnożenie liczb, ale odejmowanie i dzielenie nie są już w tym zbiorze określone. W zbiorze liczb całkowitych tylko dzielenie może wyprowadzić poza ten zbiór. W zbiorze liczb wymiernych ( z wyjątkiem dzielenia przez zero) wykonalne są wszystkie cztery działania. W zbiorach liczbowych możemy określić także inne, mniej typowe operacje. Nietrudno sprawdzić, że w zbiorze liczb rzeczywistych działaniami są: ${x\circ y}\buildrel\rm def\over= {x+y-1}$, ${x\circ y}\buildrel\rm def\over={1+(x-1)(y-1)}$ lub ${x\circ y}\buildrel\rm def\over={{x+y}\over 2}$.


Natomiast zbiór $G$ wraz z określonym w nim działaniem $\circ$ jest grupą, jeśli spełnione są następujące warunki.

Po pierwsze działanie $\circ$ musi być łączne, tzn. dla wszystkich elementów $a, b, c$ zbioru $G$

\begin{displaymath}a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c.\end{displaymath}
 
Warunek ten pozwala na dowolne umieszczanie nawiasów, gdy działanie wykonujemy wielokrotnie, co w zapisach umożliwia całkowite ich pominięcie. Łączność jest bardzo wygodnym warunkiem, ale należy pamiętać, że nie wszystkie operacje są łączne. Na przykład działania dodawania i mnożenia liczb są łączne, natomiast dzielenie i odejmowanie nie są działaniami łącznymi.

Po drugie, w zbiorze $G$ musi istnieć element $e$, zwany elementem neutralnym, taki, że dla dowolnego $g$ z $G$ spełniony jest warunek

\begin{displaymath}g\circ e=e\circ g=g.\end{displaymath}
 
Element neutralny zachowuje się tak jak jedynka przy mnożeniu lub zero przy dodawaniu liczb.

A po trzecie, dla każdego elementu $g$ możemy znaleźć element $g'$ zwany elementem odwrotnym, spełniający równość:

\begin{displaymath}g\circ g'=g'\circ g=e.\end{displaymath}
 
Gdy $\circ$ jest mnożeniem liczb, wtedy element odwrotny do $g$ to po prostu $1/g$. Jeśli natomiast $\circ$ jest dodawaniem liczb, to elementem odwrotnym do danej liczby jest liczba przeciwna.

 

 

Istnieje wiele interesujących przykładów grup. Oto kilka z nich.

Grupa funkcji
Przykłady grup nie ograniczają się oczywiście tylko do zbiorów liczbowych. Grupą jest na przykład zbiór funkcji rzeczywistych z działaniem dodawania funkcji:${(f+g)(x)}\buildrel\rm def\over={f(x)+g(x)}$. W szczególności zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych jest również grupą.



W przypadku, gdy grupa ma skończoną liczbę elementów można wynik działania zapisać przy użyciu tabelki. Dla prostokąta z przykładu 1 działanie składania opisuje następująca tabelka

Tabelki działań
Przyglądając się tabelkom działań różnych grup, możemy zaobserwować pewną prawidłowość. A mianowicie wszystkie tabelki działań grup skończonych są kwadratami łacińskimi tzn. każdy element grupy występuje dokładnie raz w każdym wierszu i w każdej kolumnie tabelki. W konsekwencji tego faktu, dowolne równanie w grupie postaci $a\circ x=b$ ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie $x=a'\circ b$.



Potrzebny był wysiłek kilku pokoleń matematyków (prace P. Ruffiniego [1765-1822], N. Abela [1802-1829] i E. Galois [1811-1832]) na przełomie około stu lat, zanim idea grupy zaistniała w dzisiejszej postaci. Obecnie teoria grup jest jedną z najbardziej rozwiniętych dziedzin algebry, mającą wielorakie zastosowania zarówno w samej matematyce jak i poza nią. Wykłady z Algebry liniowej i Algebry i jej zastosowań przybliżają słuchaczom to abstrakcyjne pojęcie.


[ Początek strony ] [ MiNIWykłady ]

Wszystkie prawa zastrzeżone © 2000 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej