Powrót

Przykład obliczeniowy

Rozwiązać zagadnienie Dirichleta dla $ a=1,$$ \varphi(x,y)=\varphi(\alpha)=0.6-0.5\cos4\alpha+0.5\sin\alpha.$
Rozwiązanie

Z podanych wzorów (patrz - szkic rozwiązania) wynika, że

$\displaystyle a_{0}=\frac{6}{10},$$\displaystyle a_{4}=-\frac{1}{2},$$\displaystyle b_{2}=-\frac{1}{2}%%$
zaś pozostałe współczynniki są równe zero.

W takim razie rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem

$\displaystyle u(x,y)=\frac{6}{10}-\frac{1}{2}\left( x^{4}+y^{4}\right) +3x^{2}y^{2}+xy.$
Poniższe rysunki przedstawiają wykres rozwiązania$ u(x,y)$ oraz jego plan warstwicowy.
Na warstwicach jest zaznaczone odpowiadające im wychylenie, czyli wartość funkcji u.

Animacja - obrót powierzchni (331 kB)

Animacja przedstawia obrót rozwiązania dokoła osi $ Oz.$ Zgodnie z zasadą maksimum dla funkcji harmonicznych, rozwiązanie nie osiąga w żadnym punkcie obszaru $ K$ swego kresu górnego i dolnego - kresy te są przyjmowane na brzegu obszaru.