Powrót

Zagadnienie drgań membrany - membrana kołowa

Odkształcenie powierzchni sprężystej (membrany)$u=u(x,y,t)$ opisywane jest równaniem różniczkowym postaci

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0$$$$%%$$ gdzie $$\Delta u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}%%$$ dla $$(x,y)\in D=\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\right\}$$ Poszukiwana funkcja $u=u(x,y,t)$ spełnia warunek brzegowy $$u(x,y,t)=0$$ dla $$x^{2}+y^{2}=a^{2},$$$$t\geq0$$ oraz warunki początkowe $$u(x,y,0)=\varphi(x,y),$$$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,y,0)=\psi(x,y)$$ dla $$(x,y)\in D.$$ Rozważamy przypadek szczególny, niech $$\varphi(x,y)=\varphi(r),$$$$\psi(x,y)=\psi(r),$$$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}%%}.$$ Założenia dla funkcji danych

1) $\varphi\in\mathbb{C}^{2},$ pochodna $\varphi^{\prime\prime\prime}$ istnieje i jest przedziałami ciągła, $\varphi(a)=0,$
1) $\psi\in\mathbb{C}^{1},$ pochodna $\psi^{\prime\prime}$ istnieje i jest przedziałami ciągła, $\psi(a)=0.$

Rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym warunki początkowe i brzegowe, jest funkcja $u(r,t)$ określona jako suma szeregu

$$u(r,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\ri......ft( x_{n}\frac{ct}{a}\right) +B_{n}\sin\left(x_{n}\frac{ct}{a}\right) \right)$$ gdzie stałe $A_{n}$ i $B_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów $$A_{n}=\frac{2}{a^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\varphi(r)J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) dr,$$$$B_{n}=\frac{2}{ax_{n}cJ_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\psi(r)J_{0}\left( x_{n}%%\frac{r}{a}\right) dr$$ dla $n=1,2,...$

Szkic rozwiązania

Przykład obliczeniowy