Powrót
 

Przykład obliczeniowy


Rozwiązać zagadnienie drgań membrany prostokątnej dla $ a=b=1,$$ c=1,$$ \ \varphi(x,y)=(x-x^{2})(y-y^{2}),$$ \psi(x,y)=0.$
 

Korzystając z omówionych wcześniej wzorów (patrz - szkic rozwiązania) i całkując przez części wyznaczamy współczynniki $ A_{n,k}$ i $ B_{n,k}$ jak następuje

$\displaystyle A_{n,k}=16\frac{\left( 1+(-1)^{n+1}\right) \left( 1+(-1)^{k+1}\right)}{n^{3}k^{3}\pi^{6}},\text{ \ }B_{n,k}=0,$
a zatem rozwiązanie rozważanego zagadnienia jest postaci 
$\displaystyle u(x,y,t)=\frac{16}{\pi^{6}}\sum\limits_{n,k=1}^{+\infty}\frac{1+(......{k+1}}{k^{3}}\sin n\pi x\sin k\pi y\cos\left( t\pi\sqrt{n^{2}+k^{2}}\right) .$


Animacja - wygląd membrany (188 kB)

Animacja - plan warstwicowy (309 kB)

Na warstwicach jest zaznaczone odpowiadające im wychylenie, czyli wartość funkcji u.