Powrót
 

Zagadnienie drgań membrany - membrana prostokątna

Odkształcenie powierzchni sprężystej (membrany)$u=u(x,y,t)$ opisywane jest równaniem różniczkowym postaci

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0,$$$$%%$$ gdzie $$\Delta u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}%%$$ dla $$(x,y)\in D=[0,a]\times\lbrack0,b].$$ Poszukiwana funkcja $u=u(x,y,t)$ spełnia jednorodny warunek brzegowy (membrana zamocowana) $$u(0,y,t)=u(a,y,t)=u(x,0,t)=u(x,b,t)=0$$ dla $$t\geq0$$ oraz warunki początkowe $$u(x,y,0)=\varphi(x,y),$$$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,y,0)=\psi(x,y)$$ dla $$(x,y)\in D.$$ Założenia dla funkcji danych

1) $\varphi\in\mathbb{C}^{2},$$\varphi=0$ na brzegu prostokąta $D,$

1) $\psi\in\mathbb{C}^{1},$$\psi=0$ na brzegu prostokąta $D.$
Szkic rozwiązania

Rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym warunki początkowe oraz brzegowe, jest funkcja $u(x,y,t)$ określona jako suma szeregu podwójnego

$$u(x,y,t)=\sum\limits_{n,k=1}^{+\infty}u_{n,k}(x,y,t)=\sum\limits_......c{ky}{b}\left( A_{n,k}\cos(\omega_{n,k}ct)+B_{n,k}\sin(\omega_{n,k}ct)\right)$$ gdzie stałe $A_{n}$ i $B_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów $$A_{n}=\frac{4}{ab}%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{a}}\left({\......\varphi\left( x,y\right) \sin\pi\frac{ky}{b}dy\right) \sin\pi\frac{nx}%%{a}dx$$,$$%%$$ $$B_{n}=\frac{4}{abc\omega_{n,k}}\int\limits_{0}^{a}\left( \int\limits_{0}%%^{b}\psi(x,y)\sin\pi\frac{ky}{b}dy\right) \sin\pi\frac{nx}{a}dx,$$ dla $n=1,2,...$

Przykład obliczeniowy