Powrót
 

Struna dwustronnie nieograniczona

 Równanie drgań struny jednowymiarowej zapisać można w postaci $$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partia......%u}{\partial x^{2}}=f(x,t)\text{ \ \ \ \ \ \ dla }x\in\text{\textbf{R}, }t>0,$$ gdzie $u(x,t)$ oznacza wychylenie struny z położenia równowagi w punkcie $x$, w chwili czasu $t.$ Funkcja $f(x,t)$ przedstawia gęstość siły zewnętrznej, działającej na strunę.

Rozwiązując najpierw równanie jednorodne (tzn.$f\equiv0$) i następnie wprowadzając zmienne $s=x-ct,$$r=x+ct$ można pokazać, że rozwiązanie daje się przedstawić w postaci tzw. wzoru d'Alemberta

$$u(x,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\right) +\fra......+\frac{1}{2}c\int\limits_{0}^{t}%%dr\int\limits_{x-c(t-r)}^{x+c(t-r)}f(s,r)ds$$ gdzie funkcje $\varphi$ oraz $\psi$ opisują warunki początkowe $$u(x,0)=\varphi(x),$$$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)$$ dla $$x\in$$R.$$%%$$ Interpretacja fizyczna w przypadku drgań swobodnych

Przykład obliczeniowy 1

Przykład obliczeniowy 2