Powrót

Struna ograniczona

Równanie drgań ograniczonej struny jednowymiarowej, na którą nie działają siły zewnętrzne, zapisać można w postaci $$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}%%u}{\partial x^{2}}=0\text{ \ \ \ dla }x\in\lbrack0,l],\text{ }t>0,$$ gdzie $u(x,t)$ oznacza wychylenie struny z położenia równowagi w punkcie $x$, w chwili czasu $t$. Jednorodne warunki brzegowe $$u(0,t)=u(l,t)=0$$ dla $$t>0$$ opisują zamocowanie struny na końcach.

Zakładamy, że spełnione są warunki początkowe

$$u(x,0)=\varphi(x),$$$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)$$ dla $$x\in\lbrack0,l],$$ gdzie funkcje $\varphi$ oraz $\psi$ są dane.
Szkic rozwiązania

Rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym warunki początkowe i brzegowe jest funkcja $u(x,t)$ określona jako suma szeregu

$$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+......rac{nx}{a}\left( A_{n}\cos\pi\frac{nct}{l}+B_{n}\sin\pi\frac{nct}%%{l}\right)$$ gdzie stałe $A_{n}$ i $B_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów $$A_{n}=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}\varphi(s)\cos\pi\frac{ns}{l}ds,$$$$B_{n}=\frac{2}{n\pi c}\int\limits_{0}^{l}\psi(s)\sin\pi\frac{ns}{l}ds.$$

Przykład obliczeniowy 1

Przykład obliczeniowy 2