Przykład obliczeniowy 2

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla oraz $\varphi$ określonej wzorem

$\begin{displaymath}\varphi(x)=\left\{\begin{array}[c]{ll}%%3(1-\left\vert x\r......0 & \text{dla }\left\vert x\right\vert >1.\end{array}\right.\end{displaymath}$ Rozwiązanie

Z przedstawionych wzorów (patrz - szkic rozwiązania) wynika, że

$\displaystyle A(l)=\frac{3(1-\cos l)}{l^{2}\pi},$ $\displaystyle B(l)=0$ , $\displaystyle %%$ zatem $\displaystyle u(x,t)=\frac{6}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp\left( -l^{2}t\right)\frac{(1-\cos l)\cos lx}{l^{2}}dl$ lub w postaci równoważnej $\displaystyle u(x,t)=\frac{3}{2\sqrt{\pi t}}\int\limits_{-1}^{+1}\left( 1-\left...... r\right\vert\right) \exp\left[ -\frac{\left( r-x\right) ^{2}}{4t}\right] dr.$ Oto wykres temperatury w różnych chwilach czasowych.

Podobnie jak w przykładzie poprzednim, dla t=0.001 otrzymujemy wykres przybliżający funkcję $\varphi$ , zaś dla dużych t następuje wyrównywanie temperatury wewnątrz pręta.