Powrót
 

Przykład obliczeniowy

Rozwiązać zagadnienie ostygania walca dla $ a=1,$$ \varphi(r)=1-r^{2}.$
Rozwiązanie

Z danych zadania wynika, że (patrz - szkic rozwiązania)

$\displaystyle C_{n}=\frac{2}{J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{1}r(1-r^{2})J_{0}%%(x_{n}r)dr$ dla $\displaystyle n=1,2,...$$\displaystyle %%$
Korzystając z własności funkcji Bessela oraz stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy ostatecznie
$\displaystyle C_{n}=\frac{4J_{2}(x_{n})}{x_{n}^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}=\frac{8}{x_{n}^{3}%%J_{1}(x_{n})},$
a zatem rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem
$\displaystyle u(r,t)=8\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x_{n}^{3}J_{1}(x_{n})}J_{0}%%(x_{n}r)e^{-x_{n}^{2}t}.$

Powyższe rysunki przedstawiają wykresy temperatury $ u(r,t)$ dla $ t=0,$$ t=0.1,$$ t=0.5.$ W miarę upływu czasu następuje obniżenie temperatury we wszystkich punktach walca.