Powrót

Zagadnienie I (ostyganie walca)

Rozważamy walec o promieniu $ a,$ którego osią jest $ Oz$. Niech $ u=u(r,t)$ oznacza temperaturę punktu walca oddalonego od jego o$ r$, w chwili $ t$. Funkcja ta spełnia równanie przewodnictwa postaci
$\displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}......}{k}\frac{\partial u}{\partial t}\text{ \ \ dla }r\in\lbrack0,r),\text{ }t>0.$
Załóżmy, że powierzchnia boczna walca utrzymywana jest w temperaturze 0, a więc spełniony jest jednorodny warunek brzegowy
$\displaystyle u(r,t)=0$ dla $\displaystyle r=a,$$\displaystyle t>0.$
Zakładamy również spełnienie osiowosymetrycznego warunku początkowego
$\displaystyle u(r,0)=\varphi(r)$ dla $\displaystyle 0\leq r<a,$
gdzie $ \varphi$ jest funkcją daną, ktora może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera - Bessela.

Szkic rozwiązania

Rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym warunek początkowy i brzegowy, jest funkcja $ u(r,t)$ określona jako suma szeregu

$\displaystyle u(r,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_{n}J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right)e^{-\left( \frac{x_{n}}{a}\right) ^{2}kt}%%$
gdzie stałe $ C_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów
$\displaystyle C_{n}=\frac{2}{a^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\varphi(r)J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) dr,$$\displaystyle %%$
dla $ n=1,2,...$

Przykład obliczeniowy