Spis rzeczy

Zadania

1. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=b\sinh x$$ przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$.$$%%$$
2. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=bx\left( x-l\right)$$ przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$.$$%%$$
3. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=t^{2}x\left( x-l\right)$$ przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$.$$%%$$
4. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}-2h\frac{\partial u}{\partial t}-b^{2}u=0$$ przy jednorodnych warunkach początkowych oraz przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =A$$, $$u\left( l,t\right) =0$$.$$%%$$
5. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0$$ przy jednorodnych warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =\sin\frac{2\pi}{l}x$$.$$%%$$
6. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial x}\left(l,t\right) =0$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =\sin\frac{5\pi}{2l}x$$, $$\frac{\partialu}{\partial t}\left( x,0\right) =\cos\frac{\pi}{2l}x\text{.}%%$$
7. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial x}\left(l,t\right) =0$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =x$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =\sin\frac{\pi}{2l}x+\sin\frac{3\pi}{2l}x$$.$$%%$$
8. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0$$ przy warunkach brzegowych $$\frac{\partial u}{\partial x}\left( 0,t\right) =0$$, $$%%\frac{\partial u}{\partial x}\left( l,t\right) =0$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =x$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =1$$.$$%%$$
9. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=A\exp\left( -t\right) \sin\frac{\pi}{l}x$$ przy jednorodnych warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$ i jednorodnych warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =0$$.$$%%$$
10. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=Ax\exp\left( -t\right)$$ przy jednorodnych warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$u\left( l,t\right) =0$$ i jednorodnych warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =0$$.$$%%$$
11. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=A\sin t$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial x}\left(l,t\right) =0$$ i jednorodnych warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =0$$.$$%%$$
12. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0\text{, \ \ \ \ \ \ }0<x<\pi\text{, \ \ }t>0$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =t^{2}$$, $$u\left( \pi,t\right) =t^{3}%%$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =\sin x$$, $$\frac{\partial u}{\partialt}\left( x,0\right) =0\text{.}%%$$
13. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0\text{, \ \ \ \ \ \ }0<x<\pi\text{, \ \ }t>0$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =\exp\left( -t\right)$$   , $$u\left(\pi,t\right) =t$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =\sin x\cos x$$, $$\frac{\partialu}{\partial t}\left( x,0\right) =1\text{.}%%$$
14. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=0\text{, \ \ \ \ \ \ }0<x<\pi\text{, \ \ }t>0$$ przy warunkach brzegowych $$u\left( 0,t\right) =t$$, $$\frac{\partial u}{\partial x}\left(\pi,t\right) =1$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =\sin\frac{1}{2}x$$, $$\frac{\partialu}{\partial t}\left( x,0\right) =1\text{.}%%$$
15. Rozwiązać równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}%%}=\sin2t\text{, \ \ \ \ \ \ }0<x<l\text{, \ \ }t>0$$ przy warunkach brzegowych $$\frac{\partial u}{\partial x}\left( 0,t\right) =0$$, $$%%\frac{\partial u}{\partial x}\left( l,t\right) =\frac{2}{a}\sin\frac{2l}%%{a}\sin2t$$ i warunkach początkowych $$u\left( x,0\right) =0$$, $$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right) =-2\cos\frac{2x}{a}$$.$$%%$$