Spis rzeczy

• Pojęcia podstawowe
• Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych
• Równania opisujące ruch falowy
• Równania przewodnictwa cieplnego i dyfuzji
• Zagadnienia prowadzące do równania Laplace'a i równania Poissona
• Klasyfikacja prawie-liniowych r.r.cz. II rzędu dla n=2
• Uwagi o klasyfikacji liniowych r.r.cz. II rzędu dla n>2
• Zagadnienie Cauchy'ego dla równania liniowego
• Zagadnienia graniczne poprawnie postawione
• Zadania
• Struna nieograniczona
• Zagadnienie Cauchy'ego dla równania jednorodnego
• Zagadnienie Cauchy'ego dla równania niejednorodnego
• Stabilność rozwiązania
• Struna jednostronnie ograniczona
• Struna z zamocowanym końcem
• Struna ze swobodnym poziomym końcem
• Wzór Kirchhoffa
• Metoda Fouriera dla równań hiperbolicznych
• Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej
• Drgania swobodne struny zamocowanej
• Drgania wymuszone struny zamocowanej
• Przypadek ogólny
• Równanie drgań membrany swobodnej
• Membrana prostokątna
• Membrana kołowa
• Membrana nieograniczona
• Drgania poprzeczne belki
• Zadania
• Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
• Zagadnienie Cauchy'ego dla pręta nieograniczonego
• Uogólniona metoda Fouriera
• Rozwiązanie podstawowe, całka Poissona
• Przykłady
• Rozkład temperatury w pręcie półograniczonym
• Zadania
• Równanie przewodnictwa cieplnego (II)
• Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego
• Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego
• Zasada maksimum dla równania przewodnictwa
• Jednoznaczność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego
• Stabilność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego
• Przykłady radialnego rozkładu ciepła w walcu
• Zagadnienie ostygania walca
• Zagadnienie nagrzewania powierzchni bocznej walca
• Zadania
• Funkcje harmoniczne
• Tożsamości Greena, wzór podstawowy teorii funkcji harmonicznych
• Przypadek funkcji dwóch zmiennych niezależnych
• Przypadek dowolnej liczby zmiennych niezależnych
• Własności funkcji harmonicznych
• Zadania
• Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
• Metoda funkcji Greena
• Funkcja Greena dla koła - metoda punktów symetrycznych
• Metoda szeregów Fouriera dla koła
• Metoda odwzorowań konforemnych
• Jednoznaczność zagadnienia Dirichleta i Neumanna
• Stabilność rozwiązania zagadnienia Dirichleta
• Zadania
• Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
• Przestrzeń funkcji próbnych D, przestrzeń D'
• Przykłady dystrybucji skończonego rzędu
• Transformata Laplace'a dystrybucji
• Przykłady transformaty Laplace'a dystrybucji
• Najważniejsze własności L-transformaty dystrybucji
• Zadania
• Dystrybucje, wiadomości wstępne (II)
• Splot dystrybucji z przestrzeni D'
• Własności splotu dystrybucji
• Przestrzeń dystrybucji temperowanych
• Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych
• Najważniejsze własności i przykłady transformat Fouriera
• Zadania
• Informacja o przestrzeniach Hilberta
• Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny
• Przykłady przestrzeni Hilberta
• Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa rzeczywista lub zespolona
• Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem
• Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem
• Ortogonalność, twierdzenie o rzucie ortogonalnym
• Układy ortonormalne w przestrzeniach Hilberta
• Przykłady układów ortonormalnych
• Szeregi Fouriera względem układów ortonormalnych
• Trygonometryczne szeregi Fouriera
• Zbieżność punktowa trygonometrycznych szeregów Fouriera
• Zadania
• Informacja o przestrzeniach Sobolewa
• Definicja przestrzeni Sobolewa
• Ślady funkcji z przestrzeni Sobolewa na powierzchniach
• Normy równoważne w przestrzeniach Sobolewa
• Rozwiązania uogólnione (słabe)
• Eliptyczne operatory różniczkowe rzędu parzystego
• Wprowadzenie definicji słabego rozwiązania
• Słabe rozwiązanie równania różniczkowego
• Stabilne i niestabilne warunki brzegowe
• Słabe rozwiązania zagadnień brzegowych
• Istnienie słabych rozwiązań zagadnień brzegowych
• Przykłady zagadnień brzegowych - analiza rozwiązalności
• Elementy rachunku wariacyjnego
• Przykładowe zagadnienia
• Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
• Przypadki funkcjonałów szczególnej postaci
• Twierdzenie o minimum funkcjonału kwadratowego
• Zadania
• Wstęp do metod przybliżonych
• Wariacyjna definicja rozwiązań uogólnionych
• Metoda szeregów ortonormalnych
• Metoda Ritza
• Metoda Galerkina
• Metoda najmniejszych kwadratów
• Metoda gradientów
• Zadania
• Literatura