Spis rzeczy

Drgania poprzeczne belki

Metoda separacji zmiennych może być stosowana do rozwiązywania zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych rzędu wyższego niż drugi. Przykładem takiego zagadnienia jest zagadnienie drgającej belki opisane równaniem rzędu czwartego

$$u_{tt}+c^{2}u_{xxxx}=0 x\in\left( 0;l\right) t>0%%$$ (3.35)

z warunkami początkowymi

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) u_{t}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right)%%$$ (3.36)

opisującymi kształt początkowy belki i początkową prędkość drgań oraz warunkami brzegowymi postaci

$$u\left( 0,t\right) =u\left( l,t\right) =u_{xx}\left( 0,t\right) =u_{xx}\left( l,t\right) =0 %%$$ (3.37)

Podobnie jak w przypadku struny, poszukujemy niezerowych rozwiązań równania (3.35) spełniających jednocześnie warunki brzegowe (3.37), w postaci $u\left( x,t\right) =X\left( x\right) T\left(t\right)$. Prowadzi to do problemu wyznaczenia wartości własnych $\lambda$, dla których istnieją niezerowe funkcje $X\left( x\right)$ spełniające równanie

$$\frac{X^{\left( 4\right) }\left( x\right) }{X\left( x\right) }<te......t) }{c^{2}T\left( t\right) }<tex2html_comment_mark>463 =\lambda\in\mathbb{R}%%$$ (3.38)

z warunkami

$$X\left( 0\right) =X\left( l\right) =X^{\prime\prime}\left( 0\right) =X^{\prime\prime}\left( l\right) =0 %%$$ (3.39)

Z rozważań analogicznych do przypadku omówionego dla struny jednowymiarowej wynika, że jedynymi liczbami $\lambda$ o tej własności są liczby

$$\lambda_{n}=\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{4}$$ dla $$n=1,2,\ldots$$,$$%%$$ którym odpowiadają funkcje $$X_{n}\left( x\right) =\sin\frac{\pi n}{l}x$$, $$T_{n}\left( t\right)=A_{n}\sin\left[ c\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{2}t\right] +B_{n}%%\cos\left[ c\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{2}t\right]$$.$$%%$$ Rozwiązanie zagadnienia (3.35)-(3.37) możemy zatem zapisać w postaci

$$u\left( x,t\right) =<tex2html_comment_mark>469 {\displaystyle\sum......left[ c\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{2}t\right] \right\} \sin\frac{\pi n}{l}x %%$$ (3.40)

gdzie współczynniki $A_{n}$ i $B_{n}$ szeregu (3.40) wyznaczamy z warunków początkowych

$$\varphi\left( x\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}B_{n}\sin\frac{\pi n}{l}x$$, $$\psi\left( x\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}A_{n}c\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{2}\sin\frac{\pi n}{l}x$$,$$%%$$ skąd wynika ostatecznie, że $$A_{n}=\frac{2l}{cn^{2}\pi^{2}}%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{l}}\psi\left( x\right) \sin\frac{\pi n}{l}xdx$$, $$B_{n}=\frac{2}{l}%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{l}}\varphi\left( x\right) \sin\frac{\pi n}{l}xdx$$, dla $$n=1,2,\ldots$$.$$%%$$