Spis rzeczy

Zadania

1. Niech T będzie funkcjonałem określonym następująco
$$\left\langle T\vert\varphi\right\rangle :=%%{\displaystyle\int\l......%%{\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}}\frac{\varphi\left( t\right) }{t}dt$$ dla $$\varphi\in D$$. Pokazać, że: a) $T\in D^{\prime}$, b) $T=D\left[ 1_{+}\left(t\right) \ln t\right]$.
2. Niech T będzie funkcjonałem określonym następująco
$$\left\langle T\vert\varphi\right\rangle :=-\frac{1}{2}%%{\displa......^{+\infty}}\frac{\varphi\left( t\right) -\varphi\left( 0\right) }{t\sqrt{t}}dt$$ dla $$\varphi\in D$$. Pokazać, że a) $T\in D^{\prime}$, b) $T=D\left[ 1_{+}\left(t\right) t^{-\frac{1}{2}}\right]$.
3. Obliczyć pochodne dystrybucyjne do rzędu trzeciego włącznie funkcji $f\left( t\right) =\left\vert \sin t\right\vert$.
4. Obliczyć pochodne dystrybucyjne do rzędu trzeciego włącznie funkcji $f\left( t\right) =\left\vert t\right\vert \sin t$.
5. Obliczyć pochodne dystrybucyjne do rzędu trzeciego włącznie funkcji $f\left( t\right) =\left\vert t\sin t\right\vert$.
6. Wiedząc, że $L\left\{ J_{0}\left( t\right) \right\} \left(s\right) =\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}}$ wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a funkcji $F\left( s\right) =\sqrt{s^{2}+\alpha^{2}}$.
7. Pokazać, że w przestrzeni dystrybucji $D_{0}^{\prime}$ prawdziwa jest równość
$$t^{k}\delta^{\left( k\right) }=\left( -1\right) ^{k}k!\delta$$.
8. Pokazać, że w przestrzeni dystrybucji $D_{0}^{\prime}$ prawdziwa jest równość
$$\left( \sin at\right) \delta^{\left( 1\right) }=-a\delta$$.
9. Rozwiązać w przestrzeni dystrybucji równanie różniczkowe
$$D^{3}y+3D^{2}y+3Dy+y=\delta^{\left( 4\right) }\left( t-1\right)$$.
10. Rozwiązać w przestrzeni dystrybucji równanie różniczkowe
$$tDy+2y=0$$.
11. Rozwiązać w przestrzeni dystrybucji równanie różniczkowe
$$t^{2}D^{2}y+4tDy+2y=\delta$$.
12. Przedyskutować szeregowy układ RLC w przypadku impulsu wejściowego $U\left( t\right) =U_{0}\cdot1_{+}\left( t\right)$.