Spis rzeczy

Subsections

• Przykłady transformaty Laplace'a dystrybucji
• Najważniejsze własności L-transformaty dystrybucji

Transformata Laplace'a dystrybucji

Ze zbioru wszystkich dystrybucji skończonego rzędu wybieramy te, które są pochodnymi dystrybucyjnymi funkcji ciągłych $h\left(t\right)$ spełniających dwa dodatkowe warunki:

1. $h\left( t\right) =0$ dla $t<0$,
2. $L\left\{ h\left( t\right) \right\}$ istnieje i jest zbieżna bezwzględnie dla $\operatorname{Re}s>\sigma$.

Zbiór takich dystrybucji oznaczamy przez $D_{o}^{\prime}$.
 
 

D e f i n i c j a

Dla dystrybucji $T=D^{k}h\in D_{0}^{\prime}$ definiujemy przekształcenie Laplace'a wzorem

$$L\left\{ T\right\} \left( s\right) =s^{k}L\left\{ h\left( t\right)\right\} \left( s\right) =s^{k}H\left( s\right)$$, gdzie $H\left( s\right) =L\left\{ h\left( t\right) \right\} \left(s\right)$.jest klasyczną transformatą Laplace'a funkcji $h\left(t\right)$.
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeśli funkcja $f\left( t\right)$ posiada $L$ transformatę w sensie klasycznym, to posiada również transformatę w sensie dystrybucyjnym i transformaty te są równe.
 

Niech $h\left( t\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{t}}f\left( \tau\right) d\tau$ oraz niech $L\left\{ f\right\} \left(s\right) =F\left( s\right)$ w sensie klasycznym. Wówczas $h$ spełnia warunki 1 i 2 oraz $Dh=f$. Ponadto, zgodnie z tw. o transformacie całki w sensie klasycznym $L\left\{ h\right\} \left( s\right) =\frac{1}%%{s}L\left\{ f\right\} \left( s\right) =\frac{1}{s}F\left( s\right)$. Zatem z poprzedniej definicji wynika, że wyznaczając tę transformatę w sensie dystrybucyjnym dostajemy

$$L\left\{ f\right\} \left( s\right) =L\left\{ Dh\right\} =sH\left(s\right) =s\cdot\frac{1}{s}F\left( s\right) =F\left( s\right)$$ co kończy dowód.

Przykłady transformaty Laplace'a dystrybucji

P r z y k ł a d   1

$T=\delta$. Ponieważ $\delta=D^{2}h\left( t\right)$, gdzie $$h\left( t\right) =\left\{\begin{array}[c]{rl}%%0 & \text{dla }t<0\\t & \text{dla }t\geq0\end{array}\right.$$   spełnia 1 i 2, więc

$$L\left\{ \delta\right\} \left( s\right) =s^{2}L\left\{ h\left( t\right)\right\} \left( s\right) =s^{2}\frac{1}{s^{2}}=1$$ (funkcja stała nie należy do przestrzeni obrazów klasycznej transformaty Laplace'a).

P r z y k ł a d   2

$T=\delta^{\left( n\right) }$. Ponieważ $\delta^{\left( n\right)}=D^{n+2}h\left( t\right)$, więc

$$L\left\{ \delta^{\left( n\right) }\right\} \left( s\right) =s^{n+2}%%\frac{1}{s^{2}}=s^{n}$$ (wielomian).

P r z y k ł a d   3

$T=\delta\left( t-a\right)$, gdzie $\left\langle \delta\left( t-a\right),\varphi\right\rangle :=\varphi\left( a\right)$. Ponieważ$\delta\left( t-a\right) =D^{2}h\left( t-a\right)$, więc na mocy własności klasycznej transformaty (tw. o przesunięciu) otrzymujemy

$$L\left\{ \delta\left( t-a\right) \right\} \left( s\right) =s^{2}%%e^{-as}\frac{1}{s^{2}}=e^{-as}%%$$.

Najważniejsze własności L-transformaty dystrybucji

Załóżmy, że $T\in D_{0}^{\prime}$ tzn. $T=D^{k}h\left(t\right)$, $h\left(t\right)$ spełnia warunki 1 i 2 oraz $$L\left\{ T\right\} \left( s\right) =s^{k}L\left\{ h\right\} \left(s\right) =s^{k}H\left( s\right) =F\left( s\right)$$. D e f i n i c j a

Niech $b\in\mathbb{R}$. Wówczas operator przesunięcia $\tau_{b}$ określony na funkcjach próbnych równością$\tau_{b}\varphi\left( t\right) =\varphi\left( t-b\right)$ definiujemy w przestrzeni dystrybucji jako

$$\left\langle \tau_{b}T\vert\varphi\right\rangle =\left\langle T\vert\varphi\left(t+b\right) \right\rangle$$. ,,Uzasadnieniem'' tej definicji jest następująca równość dla funkcji lokalnie całkowalnych $$%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t-b\rig......le\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t\right) \varphi\left( t+b\right) dt$$.

Przykładowo, $\left\langle \tau_{b}\delta\vert\varphi\right\rangle =\left\langle\delta\vert\varphi\left( t+b\right) \right\rangle =\varphi\left( b\right)$ - por. przykład 3.
 

T w i e r d z e n i e (o przesunięciu)

Dla każdego $b>0$ prawdziwy jest wzór

$$L\left\{ \tau_{b}T\right\} \left( s\right) =e^{-bs}F\left( s\right)$$.

Dla dowodu zauważmy, że

$$\left\langle \tau_{b}T\vert\varphi\left( t\right) \right\rangle =\left\langle D^{k}h\left( t\right) \vert\varphi\left( t+b\right)......left( t\right) \vert\varphi^{\left( k\right) }\left( t+b\right) \right\rangle =$$

$$=\left( -1\right) ^{k}<tex2html_comment_mark>1219 {\displaystyle\......ty}^{+\infty}} h\left( t\right) \varphi^{\left( k\right) }\left( t+b\right) dt=$$

$$=\left( -1\right) ^{k}<tex2html_comment_mark>1223 {\displaystyle\......eft( t\right) dt=\left\langle D^{k}h\left( t-b\right) \vert\varphi\right\rangle$$

co oznacza, że $\tau_{b}T=D^{k}h\left( t-b\right) .$ Zatem

$$L\left\{ \tau_{b}T\right\} \left( s\right) =L\left\{ D^{k}h\left(......\right\} \left( s\right) =s^{k}e^{-bs}H\left( s\right)=e^{-bs}F\left( s\right)$$.

Analogicznie do operatora przesunięcia wprowadzamy w przestrzeni dystrybucji operację mnożenia dystrybucji przez funkcję klasy$C^{\infty}$. Ponieważ dla $f$ - lokalnie całkowalnych,$\varphi\in D$, $\psi\in C^{\infty}$ zachodzi oczywisty wzór

$$%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}\left( f\left( ......}f\left( t\right) \left( \psi\left( t\right) \varphi\left( t\right)\right) dt$$, więc w naturalny sposób wprowadzamy następującą definicję mnożenia dystrybucji $T\in D^{\prime}$ przez funkcję$\psi\in C^{\infty}$.

D e f i n i c j a (mnożenia dystrybucji przez funkcje klasy $C^{\infty}$)

$\left\langle T\psi\vert\varphi\right\rangle :=\left\langle T\vert\psi\varphi\right\rangle$.
 

T w i e r d z e n i e (przesunięcie w dziedzinie zespolonej)

Jeżeli $T\in D_{o}^{\prime}$, $\alpha\in C$, to zachodzi wzór

$$L\left\{ e^{-\alpha t}T\right\} \left( s\right) =F\left( s+\alpha\right)$$.

Dla dowodu skorzystamy ze wzoru Leibniza na pochodną iloczynu funkcji. Niech $T=D^{k}h$. Wówczas otrzymujemy

$$\left\langle e^{-\alpha t}T\vert\varphi\right\rangle =\left\langle T\vert e^{-\alpha t}\varphi\right\rangle =\left\lan......inom{k}{i}\left( -\alpha\right) ^{i}e^{-\alpha t}D^{k-i}\varphi \right\rangle =$$

$$=\left( -1\right) ^{k}<tex2html_comment_mark>1245 {\displaystyle\......{\left\langle h\vert e^{-\alpha t}\varphi^{\left( k-i\right) }\right\rangle }}=$$

$$=\left( -1\right) ^{k}<tex2html_comment_mark>1249 {\displaystyle\......D^{k-i}\left( h\left( t\right) e^{-\alpha t}\right) \vert\varphi\right\rangle =$$

$$=<tex2html_comment_mark>1253 {\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}......e D^{k-i}\left( h\left( t\right) e^{-\alpha t}\right) \vert\varphi\right\rangle$$

W takim razie $e^{-\alpha t}T=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}\binom{k}{i}\alpha^{i}D^{k-i}\left( h\left( t\right) e^{-\alpha t}\right)$, a więc

$$L\left\{ e^{-\alpha t}T\right\} \left( s\right) =%%{\displaystyl......) =H\left(s+\alpha\right) \left( s+\alpha\right) ^{k}=F\left( s+\alpha\right)$$ co kończy dowód.
 
 
 

T w i e r d z e n i e (o transformacie pochodnej)

Jeśli $T\in D_{0}^{\prime}$, $n\in N$, to prawdziwy jest wzór

$$L\left\{ D^{n}T\right\} \left( s\right) =s^{n}F\left( s\right)$$.

Niech $T=D^{k}h\left(t\right)$, zatem $D^{n}T=D^{n+k}h\left( t\right)$. Stąd

$$L\left\{ D^{n}T\right\} \left( s\right) =L\left\{ D^{n+k}h\right\}\left( s\right) =s^{n+k}H\left( s\right) =s^{n}F\left( s\right)$$ co kończy dowód.

U w a g a

Powyższy wzór różni się pozornie od sformułowania klasycznego. W sformułowamiu klasycznym prawdziwy jest wzór

$$L\left\{ f^{\left( n\right) }\left( t\right) \right\} \left( s\ri......prime}\left( 0^{+}\right) s^{n-2}-...-f^{\left( n-1\right) }\left( 0^{+}\right)$$ (8.5)

Występująca między obydwoma przypadkami różnica jest jednak tylko pozorna. Jeżeli oznaczymy przez $\left[ f\right]$ dystrybucję generowaną przez funkcję $f$ (równą 0 dla$t<0$), to łatwo pokazać przez indukcję względem n, że pochodna w sensie dystrybucyjnym $D^{n}\left[ f\right]$ może być wyznaczona jako

$$D^{n}\left[ f\right] =\left[ f^{\left( n\right) }\right] +f^{\lef......\left( 0^{+}\right) \delta+...+f\left( 0^{+}\right) \delta^{\left( n-1\right) }$$ (8.6)

Najpierw obliczamy dla $n=1$ jak następuje

$$\left\langle Df\vert\varphi\right\rangle =-\left\langle f\vert\varphi^{\prime }\right\rangle =-<tex2html_c......\int\limits_{0}^{+\infty}} f\left( t\right) \varphi^{\prime}\left( t\right) dt=$$

$$=\left. -f\left( t\right) \varphi\left( t\right) \right\vert _{t=......a \vert\varphi\right\rangle }}+\left\langle f^{\prime}\vert\varphi\right\rangle$$

tzn. $D\left[ f\right] =\left[ f^{\prime}\right] +f\left( 0^{+}\right)\delta$. Stąd dalej łatwo przez indukcję uzyskać wzór (8.6) dla dowolnego n. Stosując do wzoru (8.6) twierdzenie o transformacie pochodnej (w sensie dystrybucyjnym) otrzymujemy

$$s^{n}L\left\{ f\right\} \left( s\right) =L\left\{ f^{\left( n\rig......t( n-1\right) }\left( 0^{+}\right)+...+f\left( 0^{+}\right) s^{n-1}\text{,}%%$$ który jest równoważny wzorowi klasycznemu (8.5).
 
 

T w i e r d z e n i e (o różniczkowaniu transformaty)

Dla dowolnego $n\in N$ prawdziwy jest wzór

$$L\left\{ \left( -t\right) ^{n}T\right\} \left( s\right) =F^{\left(n\right) }\left( s\right) \text{.}%%$$

Widać, że wystarczy przeprowadzić dowód w przypadku $n=1$ (dalej natychmiast przez indukcję). Niech $F\left( s\right)=s^{k}H\left( s\right)$. Stąd $F^{\prime}\left( s\right)=ks^{k-1}H\left( s\right) +s^{k}H^{\prime}\left( s\right)$. Ponieważ na mocy własności klasycznej transformaty Laplace'a $L\left\{ \left(-t\right) h\left( t\right) \right\} =H^{\prime}\left( s\right)$, więc

$$L\left\{ kD^{k-1}h\left( t\right) +D^{k}\left[ \left( -t\right) h\left(t\right) \right] \right\} \left( s\right) =F^{\prime}\left( s\right)$$. Stosując wzór Leibniza do wyrażenia $D^{k}\left[ \left(-t\right) h\left( t\right) \right]$ mamy $$D^{k}\left[ \left( -t\right) h\left( t\right) \right] =-\binom{k}......dot D^{k-1}h\left( t\right)=-tD^{k}h\left( t\right) -kD^{k-1}h\left( t\right)$$ zatem $$F^{\prime}\left( s\right) =L\left\{ kD^{k-1}h\left( t\right)-tD^...... -t\right) D^{k}h\left( t\right) \right\}=L\left\{ \left( -t\right) T\right\}$$ co kończy dowód.