Spis rzeczy

Zadania

1. Zbadać, czy równość $\left( x,y\right) =xy+x+2y+1$ określa iloczyn skalarny w $\mathbb{R}$?
2. Niech $X=L^{2}\left( \left[ 0,1\right] \right)$ z normą $\Vertf\Vert=\sqrt{%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{1}}\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}dx}$, $X_{0}=\operatorname*{lin}%%\left( 1,\text{ }x\right) \subset X.$ Zortonormalizować układ$\left\{ 1,\text{ }x\right\}$ oraz wyznaczyć rzut ortogonalny elementu$f\left( x\right) =x^{2}$ na $X_{0}$.
3. Niech $X=L^{2}\left( \left[ 0,\pi\right] \right)$ z normą$\Vert f\Vert=\sqrt{%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}}\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}dx}$, $X_{0}=\operatorname*{lin}%%\left( \frac{1}{\sqrt{\pi}},\text{ }\sin x\right) \subset X.$ Zortonormalizować układ $\left\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}},\text{ }\sinx\right\}$ oraz wyznaczyć rzut ortogonalny elementu $f\left( x\right)=1+\frac{1}{2}\sin x$ na $X_{0}$.
4. Znaleźć rzut ortogonalny w przestrzeni $X=L^{2}\left(-1;1\right)$ funkcji $f\left( x\right) =1+\sin x$ na podprzestrzeń domkniętą $X_{0}=\operatorname*{lin}\left( e_{1},e_{2}\right)$, gdzie $e_{1}\left( x\right)$, $e_{2}\left( x\right)$ są funkcjami otrzymanymi z ortonormalizacji układu funkcji $f_{1}\left( x\right) =1$,$f_{2}\left( x\right) =1+x$.
5. Znaleźć rzut ortogonalny w przestrzeni $X=L^{2}\left(-1;1\right)$ funkcji $f\left( x\right) =1+\cos x$ na podprzestrzeń domkniętą $X_{0}=\operatorname*{lin}\left( e_{1},e_{2}\right)$, gdzie $e_{1}\left( x\right)$, $e_{2}\left( x\right)$ są funkcjami otrzymanymi z ortonormalizacji układu funkcji $f_{1}\left( x\right) =1$,$f_{2}\left( x\right) =1-x$.
6. Funkcję $f\left( x\right) =1-2x$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[ -\pi;+3\pi\right]$.
7. Funkcję $f\left( x\right) =2\cos^{2}x$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[-3\pi;+3\pi\right]$.
8. Funkcję $f\left( x\right) =2\sin^{2}x$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[-3\pi;+3\pi\right]$.
9. Funkcję $f\left( x\right) =1+2\sin2x$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[-3\pi;+3\pi\right]$.
10. Funkcję $f\left( x\right) =1+2\cos2x$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[-3\pi;+3\pi\right]$.
11. Funkcję $f\left( x\right) =x\left( \pi-x\right) \left(\pi+x\right)$ przedstawić w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera w przedziale $\left( -\pi;+\pi\right)$. Narysować wykres sumy tego szeregu w przedziale $\left[ -2\pi;+2\pi\right]$.