Spis rzeczy

Subsections

• Trygonometryczne szeregi Fouriera
• Zbieżność punktowa trygonometrycznych szeregów Fouriera

Szeregi Fouriera względem układów ortonormalnych

Załóżmy teraz, że dane jest rozwinięcie elementu $x$ z pewnej przestrzeni Hilberta $X$ na szereg w postaci

$$x=<tex2html_comment_mark>1763 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}} \alpha_{k}e_{k}$$ (10.17)

gdzie $\left( e_{k}\right)$ jest układem ortonormalnym w $X$.

Mnożąc obie strony równości (10.17) skalarnie przez $e_{n}$ i korzystając z ortonormalności układu $\left( e_{k}\right)$ otrzymujemy, że

$$\alpha_{n}=\left( x,e_{n}\right)$$ (10.18)

D e f i n i c j a
Liczby $\alpha_{n}=\left( x,e_{n}\right)$ określone wzorem (10.18) nazywamy współczynnikami Fouriera elementu $x$ względem układu ortonormalnego $\left( e_{n}\right)$, a szereg $%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}\left( x,e_{k}\right) e_{k}$ nazywamy szeregiem Fouriera elementu$x$ względem tego układu.
 

T w i e r d z e n i e
Jeśli $\left( e_{k}\right)$ jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta $X$, to dla każdego $x\in X$ szereg $%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}\left\vert \left( x,e_{k}\right) \right\vert ^{2}$ jest zbieżny i zachodzi nierówność

$$<tex2html_comment_mark>1777 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}} \left\vert \left( x,e_{k}\right) \right\vert ^{2}\leq\Vert x\Vert^{2}$$ (10.19)

która staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy $x=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}\left( x,e_{k}\right) e_{k}$, tzn. gdy $x$ jest równy sumie swojego szeregu Fouriera.

T w i e r d z e n i e

Jeśli $\left( e_{k}\right)$ jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta $X$, to dla każdego $x\in X$ i dowolnych stałych $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$ zachodzi nierówność

$$\Vert x-<tex2html_comment_mark>1790 {\displaystyle\sum\limits_{k=......tml_comment_mark>1794 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} \alpha_{k}e_{k}\Vert$$ (10.20)

która oznacza, że $n-$ta suma częściowa szeregu Fouriera elementu $x$ jest najlepszym możliwym przybliżeniem tego elementu w podprzestrzeni $\operatorname*{lin}\left( e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\right)$.

Dowód wynika z faktu, że $%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}\left( x,e_{k}\right) e_{k}$ jest rzutem ortogonalnym elementu $x$ na$\operatorname*{lin}\left( e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\right)$.

Następne twierdzenie precyzuje warunki rozwijalności dowolnego elementu przestrzeni Hilberta $X$ na szereg Fouriera względem układu ortonormalnego $\left( e_{k}\right)$.

T w i e r d z e n i e

Niech $\left( e_{k}\right)$ będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta $X$. Wówczas każdy element $x$ jest sumą swojego szeregu Fouriera (10.17) wtedy i tylko wtedy, gdy układ$\left( e_{k}\right)$ generuje całą przestrzeń $X$.

Trygonometryczne szeregi Fouriera

Rozważmy przestrzeń Hilberta $X=L^{2}\left( \left[ -l;l\right]\right)$, $l>0$. Można udowodnić, że układ funkcji

$$\frac{1}{\sqrt{2l}}, \frac{1}{\sqrt{l}}\cos\frac{k\pi x}{l} \frac{1}{\sqrt{l}}\sin\frac{k\pi x}{l} k=1,2,\ldots%%$$ (10.21)

jest układem ortonormalnym w $X$, generującym całą przestrzeń (por. przykład 2 i wzory (10.16)).

Jeśli $f\in L^{2}\left( \left[ -l;l\right] \right)$, to na mocy poprzedniego twierdzenia możemy napisać, że

$$f\left( x\right) =\frac{1}{2}a_{0}+<tex2html_comment_mark>1812 {\......1}^{+\infty}} \left( a_{k}\cos\frac{k\pi x}{l}+b_{k}\sin\frac{k\pi x}{l}\right)$$ (10.22)

gdzie

$$=\frac{1}{l}<tex2html_comment_mark>1817 {\displaystyle\int\limits_{-l}^{l}} f\left( t\right) \cos\frac{k\pi t}{l}dt k=0,1,2,\ldots ,$$ (10.23)

$$=\frac{1}{l}<tex2html_comment_mark>1821 {\displaystyle\int\limits_{-l}^{l}} f\left( t\right) \sin\frac{k\pi t}{l}dt k=1,2,\ldots .%%$$ (10.24)

Zbieżność szeregu (10.22) w przestrzeni $L^{2}\left(\left[ -l;l\right] \right)$ nie oznacza zbieżności w każdym punkcie $x\in\left[ -l;l\right]$. Zgodnie z definicją normy, zbieżność w przestrzeni $L^{2}\left(\left[ -l;l\right] \right)$ oznacza tylko, że

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}<tex2html_comment_mark>1826 {\dis......a_{k}\cos\frac{k\pi x}{l}+b_{k}\sin\frac{k\pi x}{l}\right) \right\vert ^{2}dx=0$$ (10.25)

W celu zagwarantowania zbieżności punktowej, należy założyć o funkcji danej pewne dodatkowe warunki.

Zbieżność punktowa trygonometrycznych szeregów Fouriera

Załóżmy, że dana jest funkcja rzeczywista $f\left( x\right)$ określona na przedziale $\left[ -l;l\right] .$ Przyjmujemy następującą definicję.

D e f i n i c j a

Mówimy, że funkcja $f\left( x\right)$ spełnia w przedziale $\left[-l;l\right]$warunki Dirichleta wtedy i tylko wtedy, gdy:

$1^{\circ}$

$f\left( x\right)$ jest przedziałami monotoniczna;

$2^{\circ}$

w każdym punkcie $x_{0}\in\left[ -l;l\right]$, w którym funkcja nie jest ciągła spełniony jest warunek

$$f\left( x_{0}\right) =\frac{1}{2}\left( f\left( x_{0}^{+}\right)+f\left( x_{0}^{-}\right) \right)$$, gdzie $f\left( x_{0}^{+}\right)$ i $f\left( x_{0}^{-}\right)$ oznaczają odpowiednio granicę prawo i lewostronną funkcji $f\left( x\right)$ w punkcie $x_{0}$;

$3^{\circ}$

na końcach przedziału spełnione są warunki

$$f\left( -l\right) =f\left( l\right) =\frac{1}{2}\left( f\left(-l^{+}\right) +f\left( l^{-}\right) \right)$$.

T w i e r d z e n i e (Dirichleta)

Jeżeli funkcja $f\left( x\right)$ spełnia w przedziale $\left[-l;l\right]$ warunki Dirichleta, to w każdym punkcie tego przedziału jest ona sumą swojego szeregu Fouriera (10.22).