Spis rzeczy

Zadania

W zadaniach 1-7 wyznaczyć ekstremale funkcjonałów zależnych od jednej funkcji, przyjmując dowolne lecz ustalone warunki brzegowe.

1. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}u^{\prime}\left( 1+x^{2}u^{\prime}\right) dx$$

Odp.: $u=\frac{C_{1}}{x}+C_{2}$
2. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ \left( u^{\prime}\right) ^{2}+2u^{\prime}u-16u^{2}\right] dx$$

Odp.: $u=C_{1}\sin\left( 4x-C_{2}\right)$
3. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ xu^{\prime}+\left( u^{\prime}\right) ^{2}\right] dx$$

Odp.: $u=-\frac{x^{2}}{4}+C_{1}x+C_{2}$
4. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\frac{1+u^{2}}{\left( u^{\prime}\right) ^{2}}dx$$

Odp.: $u=\sinh\left( C_{1}x+C_{2}\right)$
5. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ u^{2}+\left( u^{\prime}\right) ^{2}-2u\sin x\right] dx$$

Odp.: $u=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{1}{2}\sin x$
6. $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ x^{2}\left( u^{\prime}\right) ^{2}+2u^{2}+2xu\right] dx$$

Odp.: $u=C_{1}x+\frac{C_{2}}{x^{2}}+\frac{1}{3}x\ln\left\vert x\right\vert$
7. $$J\left( u\right) =2\pi {\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}u\sqrt{1+\left( u^{\prime}\right) ^{2}}dx$$

Odp.: $u=C_{1}\cosh\frac{x-C_{2}}{C_{1}}$
8. Wyznaczyć ekstremale funkcjonału zależnego od dwóch funkcji, przyjmując dowolne lecz ustalone warunki brzegowe

$$J\left( u_{1},u_{2}\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}......+\left( u_{1}^{\prime}\right) ^{2}-\left(u_{2}^{\prime}\right) ^{2}\right] dx$$
Odp.: $u_{1}=\left( C_{1}x+C_{2}\right) \cos x+\left( C_{3}x+C_{4}\right)\sin x$
9. Wyznaczyć ekstremale funkcjonału zależnego od dwóch funkcji

$$J\left( u_{1},u_{2}\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{\fr......\left( u_{1}^{\prime}\right) ^{2}+\left( u_{2}^{\prime}\right) ^{2}\right] dx$$ przyjmując warunki brzegowe: $u_{1}\left( 0\right) =0$, $u_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right) =1$, $u_{2}\left( 0\right) =0$, $u_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) =-1$.
Odp.: $u_{1}=\sin x$, $u_{2}=-\sin x$

W zadaniach 10-12 wyznaczyć ekstremale funkcjonałów zależnych od jednej funkcji, przyjmując dowolne lecz ustalone warunki brzegowe.

10.

$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ \l......ime\prime}\right) ^{2}-2\left( u^{\prime}\right)^{2}+u^{2}-2u\sin x\right] dx$$

Odp.: $u=\left( C_{1}+C_{2}x\right) \cos x+\left( C_{3}+C_{4}x\right) \sinx-\frac{x^{2}\sin x}{4}$

11.

$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ \left( u^{\prime\prime\prime}\right) ^{2}+2xu\right] dx$$

Odp.: $u=\frac{x^{7}}{7!}+C_{1}x^{5}+C_{2}x^{4}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{2}%%+C_{5}x+C_{6}$

12.

$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ \left( u^{\prime\prime\prime}\right) ^{2}+u^{2}-2x^{3}u\right] dx$$

Odp.: $u=C_{1}x+C_{2}e^{-x}+e^{\frac{x}{2}}\left( C_{3}\cos\frac{\sqrt{3}}%%{2}x+C_{......eft( C_{5}%%\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+C_{6}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +x^{3}$

13.

Wyznaczyć ekstremale funkcjonału$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\left[ \left( u^{\prime\prime}\right) ^{2}-u^{2}+x^{2}\right] dx$$ przyjmując warunki brzegowe: $u\left( 0\right) =1$, $u^{\prime}\left(0\right) =0$, $u\left( \frac{\pi}{2}\right) =0$, $u^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) =-1$.

Odp.: $u=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cosx+C_{4}\sin x$