Spis rzeczy

Zadania

1. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2}u}{\parti......ial y^{2}}+2\frac{\partial u}{\partial x}%%+6\frac{\partial u}{\partial y}=0.$$
2. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+4\frac{\partial^{2}u}{\parti......}}+\frac{\partial u}{\partial x}%%+2\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$
3. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\parti......=0\text{, \ \ \ gdzie \ }\alpha\text{,}\beta\text{, }c\in\mathbb{R}\text{.}%%$$
4. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\cos x\frac{\partial^{2}u}{......c{\partial^{2}u}{\partial y^{2}%%}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$
5. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$y^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2}u}......frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+y\frac{\partialu}{\partial y}=0\text{.}%%$$
6. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\operatorname{tg}^{2}x\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2y\ope......partialy^{2}}+\operatorname{tg}^{3}x\frac{\partial u}{\partial x}=0\text{.}%%$$
7. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$y\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}%%}=0\text{.}%%$$
8. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2}u}......c{\partialu}{\partial x}+4y\frac{\partial u}{\partial y}+16x^{4}u=0\text{.}%%$$
9. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\left( 1+x^{2}\right) \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\left(......{2}}+x\frac{\partialu}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$
10. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\sin^{2}x\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2y\sin x\frac{\part......u}{\partial x\partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{.}%%$$
11. Określić typ i sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+y\frac{\partial^{2}u}{\parti......rac{\partial u}{\partial y}=0\text{, \ \ gdzie }\alpha\in\mathbb{R}\text{.}%%$$
12. Stosując podstawienie $\xi=x$, $\eta=-x+y$, $\zeta=2x-2y+z$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2}u}{\parti......^{2}u}{\partialy\partial z}+5\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0\text{.}%%$$
13. Stosując podstawienie $\xi=x$, $\eta=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)$, $\zeta=-\frac{1}{2}\left( 3x+y-z\right)$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-4\frac{\partial^{2}u}{\parti......frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+3\frac{\partial u}{\partialx}=0\text{.}%%$$
14. Stosując podstawienie $\xi=x+y$, $\eta=-x+y$, $\zeta=-x-y+z$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^{2}u}{\......ial z}-\frac{\partialu}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$
15. Stosując podstawienie $\xi=y+z$, $\eta=-y+z$, $\zeta=\frac{1}%%{\sqrt{6}}x-\frac{2}{\sqrt{6}}y+\frac{\sqrt{6}}{2}z$ przekształcić równanie
$$3\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}-2\frac{\partial^{2}u}{\partialx\partial z}-\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial z}-u=0\text{.}%%$$
16. Stosując podstawienie $\xi=x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z$,$\eta=-\frac{1}{2}\left( y+z\right)$, $\zeta=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(y-z\right)$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+3\frac{\partial^{2}u}{\parti......ial x\partial z}-2\frac{\partial^{2}%%u}{\partial y\partial z}-8u=0\text{.}%%$$
17. Stosując podstawienie $\xi=x$, $\eta=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(3x-y\right)$, $\zeta=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( x+y-4z\right)$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partia......}+2\frac{\partialu}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}+4u=0\text{.}%%$$
18. Stosując podstawienie $\xi=\frac{1}{\sqrt{2}}x$, $\eta=\frac{3}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}y$, $\zeta=x+z$ przekształcić równanie
$$2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+5\frac{\partial^{2}u}{\part......\partial z}+6\frac{\partial^{2}%%u}{\partial y\partial z}-3u+y-2z=0\text{.}%%$$
19. Stosując podstawienie $\xi=y+z$, $\eta=-y-2z$, $\zeta=x-z$ przekształcić równanie
$$3\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial z}+4u=0\text{.}%%$$
20. Stosując podstawienie $\xi=x$, $\eta=-2x+y$, $\zeta=-x+z$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+4\frac{\partial^{2}u}{\parti......ial x\partial z}+4\frac{\partial^{2}%%u}{\partial y\partial z}+2u=0\text{.}%%$$
21. Stosując podstawienie $\xi=x$, $\eta=-2x+y$, $\zeta=-3x+z$ przekształcić równanie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+4\frac{\partial^{2}u}{\parti......l x}-4\frac{\partialu}{\partial y}-6\frac{\partial u}{\partial z}=0\text{.}%%$$
22. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\sin x\frac{\partial^{2}u}{......partial^{2}u}{\partial y^{2}}-\cos x\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( x+y-\cos x\right) +\psi\left(x-y+\cos x\right)$.
23. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+5\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}+6\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( 3x-y\right) +\psi\left(2x-y\right)$.
24. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-5\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}+3\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( x+y\right) +\psi\left(3x+2y\right)$.
25. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+6\frac{\partial^{2}u}{\part......2}}+\frac{\partial u}{\partial x}%%+\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( y-x\right) +\psi\left(y-2x\right) \exp\left( \frac{x-y}{2}\right)$.
26. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$3\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-10\frac{\partial^{2}u}{\par......artial u}{\partialx}+4\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{5}{16}u=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\left[ \varphi\left( x+3y\right) +\psi\left(3x+y\right) \right] \exp\left( \frac{7x+y}{16}\right)$.
27. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\parti......u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}-4\exp\left(x\right) =0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =2\exp\left( x\right) +\exp\left( \frac{x+2y}{2}\right) \left[ \varphi\left( x\right) +\psi\left( x+2y\right)\right]$.
28. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-6\frac{\partial^{2}u}{\parti......2\frac{\partial u}{\partial y}+4\exp\left( \frac{5x+3y}{2}\right)=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\exp\left( \frac{x+y}{2}\right) \left[ \left(2x+y\right) \exp\left( 4x+y\right) +\varphi\left( 2x+y\right)+\psi\left( 4x+y\right) \right]$.
29. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$x\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-y\frac{\partial^{2}u}{\part......c{\partial u}{\partialy}\right) =0\text{ \ \ \ dla }x>0\text{, }y>0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( \sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\psi\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$.
30. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$y\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\left( x+y\right) \frac{\pa......}%%u}{\partial x\partial y}+x\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( y-x\right) +\frac{1}{y-x}%%\psi\left( y^{2}-x^{2}\right)$.
31. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\cos x\frac{\partial^{2}u}{......ial x}+\left( \sin x-\cos x-2\right) \frac{\partialu}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( y+2x+\sin x\right) +\psi\left(y-2x+\sin x\right) \exp\left( -\frac{y+2x+\sin x}{4}\right)$.
32. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\exp\left( -2x\right) \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-\exp\l......ft( -2y\right) \frac{\partialu}{\partial y}+8\exp\left( y\right) =0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\exp\left( y\right) \left[ \exp\left(2y\right) -\exp\left...... x\right) \right] +\psi\left[ \exp\left( y\right)-\exp\left( x\right) \right]$.
33. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-y^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}-2y\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{x}{y}}\varphi\left( xy\right)+\psi\left( \frac{y}{x}\right)$.
34. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$4\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+8\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}+4\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}-1=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =x\varphi\left( y-x\right) +\psi\left(y-x\right) +\frac{1}{8}x^{2}$.
35. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2xy\frac{\partial^{2}u}......{2}}+x\frac{\partialu}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( x,y\right) \ln y+\psi\left(xy\right)$.
36. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( x^{2}\frac{\partial u}{\partial x}\right)=x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$$.$$%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\frac{1}{x}\left[ \varphi\left( x-y\right)+\psi\left( x+y\right) \right]$.
Wsk.: Zastosować podstawienie$v\left( x,y\right) =xu\left( x,y\right)$.
37. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\left( x-y\right) \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}-\frac{\partialu}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\frac{1}{x-y}\left( \varphi\left( x\right)-\psi\left( y\right) \right)$.
Wsk.: Zastosować podstawienie$v\left( x,y\right) =\left( x-y\right) u\left( x,y\right)$.
38. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+y\frac{\partial u}{\partialx}+x\frac{\partial u}{\partial y}+xyu=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\exp\left( -\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)\left[ \varphi\left( x\right) +\psi\left( y\right) \right]$.
39. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$3\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+10\frac{\partial^{2}u}{\par......\partial y}+\frac{1}{16}u-16x\exp\left( -\frac{x+y}%%{16}\right) =0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\left[ \varphi\left( y-3x\right) +\psi\left(3y-x\right) -......left( y-3x\right) \left( 3y-x\right) \right]\exp\left( -\frac{x+y}{16}\right)$.
Wsk.: Po sprowadzeniu równania do postaci kanonicznej zastosować podstawienie:
$v\left( \xi,\eta\right) =w\left( \xi,\eta\right) \exp\left( \frac{\xi-\eta}{32}\right)$.
40. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2}u}......}{\partial z^{2}}%%+2zx\frac{\partial^{2}u}{\partial z\partial x}=0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y,z\right) =\left( z-y\right) \varphi\left( \frac{y}%%{x},\frac{z}{x}\right) +\psi\left( \frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)$.
Wsk.: Zastosować zamianę zmiennych: $\xi=\frac{y}{x}$,$\eta=\frac{z}{x}$, $\zeta=z-y$.
41. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=a\frac{\partial^{2}u}{\parti......^{2}}\text{, \ \ gdzie }b^{2}=ac\text{, }a>0\text{, }b>0\text{, }c>0\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y,t\right) =\varphi\left( x+t\sqrt{a},y+t\sqrt{c}\right)+\psi\left( x-t\sqrt{a},y-t\sqrt{c}\right)$.
42. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}-3\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,0\right) =3x^{2}$$, $$\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,0\right) =0$$.$$%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =3x^{2}+y^{2}$.
43. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\cos x\frac{\partial^{2}u}{......partial^{2}u}{\partial y^{2}}-\sin x\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y=\sin x}=x+\cos x,$$$$\frac{\partialu}{\partial y}\left( x,y\right) \vert _{y=\sin x}=\sin x\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =x+\cos\left( x-y+\sin x\right)$.
44. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\exp\left( y\right) \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}%%-\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$$,$$%%$$ $$u\left( x,0\right) =-\frac{1}{2}x^{2}$$, $$\frac{\partial u}{\partialy}\left( x,0\right) =-\sin x\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =-\frac{1}{2}x^{2}+\cos\left[ x-1+\exp\left(y\right) \right] -\cos x$.
45. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\sin x\frac{\partial^{2}u}{......rtial^{2}u}{\partial y^{2}%%}-\cos x\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y=\cos x}=\sin x,$$$$\frac{\partialu}{\partial y}\left( x,y\right) \vert _{y=\cos x}=\frac{1}{2}\exp\left(x\right) \text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\exp\left( x\right) \sinh\left[ \frac{1}%%{2}\left( y-\cos x\right) \right] +\sin x\cos\left[ \frac{1}{2}\left(y-\cos x\right) \right]$.
46. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\sin x\frac{\partial^{2}u}{......ial x}+\left( 2-\sin x-\cos x\right) \frac{\partialu}{\partial y}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y=\cos x}=0,$$$$\frac{\partial u}{\partialy}\left( x,y\right) \vert _{y=\cos x}=\exp\left( -\frac{x}{2}\right) \cosx\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =2\exp\left[ -\frac{2x-y+\cos x}{4}\right] \cosx\sin\left[ \frac{1}{2}\left( y-\cos x\right) \right]$.
47. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\sin x\frac{\partial^{2}u}{......ial x}+\left( 1+\sin x+\cos x\right) \frac{\partial u}{\partialy}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y=-\cos x}=1+2\sin x,$$$$\frac{\partialu}{\partial y}\left( x,y\right) \vert _{y=-\cos x}=\sin x\text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =1-\sin\left( y-x+\cos x\right) +\exp\left(y+\cos x\right) \sin\left( x+y+\cos x\right)$.
48. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$3\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-4\cos x\frac{\partial^{2}u}......^{2}}-3\frac{\partial u}{\partialx}+\frac{\partial u}{\partial y}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right)$$   , $$\frac{\partialu}{\partial y}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) \text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\frac{3}{2}\varphi\left( x+y\right) \exp\left(-y\right) -\frac{1}{2}\varphi\left( x+3y\right) +$
$+\frac{1}%%{4}\exp\left( -\frac{x+3y}{2}\right){\displaystyle\int\limits_{x+......) +2\psi\left( \alpha\right) \right]\exp\left( \frac{\alpha}{2}\right) d\alpha$.
49. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$4y^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2\left( 1-y^{2}\right)......frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partialu}{\partial y}\right) =0\text{,}%%$$ $$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right)$$   , $$\frac{\partialu}{\partial y}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) \text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( x-\frac{2}{3}y^{3}\right)-\frac{1}{2}%%{\d......int\limits_{x-\left( 2/3\right) y^{3}}^{x+2y}}\psi\left( \alpha\right) d\alpha$.
50. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}+4\exp\left( y\right) =0\text{,}%%$$ $$u\left( 0,y\right) =\varphi\left( y\right)$$   , $$\frac{\partialu}{\partial x}\left( 0,y\right) =\psi\left( y\right) \text{.}%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\left[ 1+2x-\exp\left( 2x\right) \right]\exp\left( y\righ......{1}{2}%%{\displaystyle\int\limits_{y}^{2x+y}}\psi\left( \alpha\right) d\alpha$.
51. Rozwiązać zagadnienie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}%%}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y+x=0}=\varphi\left( x\right)$$   , $$%%u\left( x,y\right) \vert _{y-x=0}=\psi\left( x\right)$$   , $$\varphi\left(0\right) =\psi\left( 0\right)$$   .$$%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( \frac{x-y}{2}\right) +\psi\left(\frac{x+y}{2}\right) -\varphi\left( 0\right)$.
52. Rozwiązać zagadnienie
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+6\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partialy}+5\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\text{,}%%$$ $$u\left( x,y\right) \vert _{y-x=0}=\varphi\left( x\right)$$   , $$%%u\left( x,y\right) \vert _{y-5x=0}=\psi\left( x\right)$$   , $$%%\varphi\left( 0\right) =\psi\left( 0\right)$$   .$$%%$$ Odp.: $u\left( x,y\right) =\varphi\left( \frac{y-5x}{4}\right)+\psi\left( \frac{y-x}{4}\right) -\varphi\left( 0\right)$.