Spis rzeczy

Zagadnienia graniczne poprawnie postawione

Dla równań różniczkowych cząstkowych rozważamy zwykle tzw. zagadnienia graniczne polegające na znalezieniu rozwiązania równania spełniającego pewne dodatkowe warunki - warunki początkowe (określone w pewnej chwili czasu np. $t=0$) lub/i warunki brzegowe (określone zwykle na brzegu rozważanego obszaru przestrzennego). Warunki te nazywamy ogólnie warunkami granicznymi.
 
 

D e f i n i c j a

Mówimy, że zagadnienie graniczne jest poprawnie postawione, jeżeli:

-przy określonych warunkach granicznych istnieje rozwiązanie tego zagadnienia,

-rozwiązanie to jest jednoznaczne,

-rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od zadanych warunków granicznych (jest stabilne).

Sens trzeciego warunku powyższej definicji polega na tym, że gdyby w modelu matematycznym opisującym zjawisko fizyczne nie było ciągłej zależności rozwiązania od warunków granicznych zadania, to praktycznie dwa jednakowe układy warunków (tj. takie, ze różnice między nimi mieszczą się w granicach błędów pomiarowych) mogłyby odpowiadać dwóm istotnie różnym przebiegom zjawiska. Oznacza to, że zjawisko nie byłoby wyznaczalne fizycznie.
 
 

Nie każde zagadnienie graniczne dla równania różniczkowego cząstkowego jest poprawnie postawione. Przykładem zagadnienia, które nie jest zagadnieniem poprawnie postawionym może być np. następujące zagadnienie.

P r z y k ł a d

Wyznaczyć funkcję $u\left( x,y\right)$ spełniającą równanie Laplace'a

$$\Delta u =0$$

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) u_{y}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) x\in\mathbb{R} %%$$

Z teorii funkcji zmiennej zespolonej wynika, że powyższe zagadnienie posiada jednoznaczne rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że funkcja

$$u\left( x,y\right) =\frac{1}{\lambda}\sin\lambda x\cosh\lambda y$$ dla dowolnej wartości parametru $\lambda$ jest rozwiązaniem powyższego zagadnienia dla $\varphi\left( x\right) =\frac{1}{\lambda}\sin\lambda x$ i $\psi\left( x\right) =0$. Ponieważ dla dużych wartości $\lambda$ warunki graniczne różnią się dowolnie mało od zera, więc gdyby zagadnienie było stabilne, to również rozwiązanie powinno być bliskie zeru, ale tak nie jest.

Należy pamiętać, że mówiąc o stabilności zagadnienia trzeba najpierw precyzyjnie określić co to znaczy, że rozwiązanie zagadnienia zależy w sposób ciągły od warunków granicznych.