Program
SEMESTR LETNI 2023/2024, sala 431 Gm. MiNI, wtorki 12.15-13.30
23.04.24, T. Kowalski (Uniwersytet Jagielloński), Free p-algebras.
Abstract: P-algebras are subreducts of Heyting algebras to the signature without implication but with negation. They were comprehensively investigated in the 1970s and the 1980s and then the interest waned. Free p-algebras were studied by Urquhart, Berman and Dwinger, and Katrinak, mainly using Priestley-type duality. We propose a new approach to the description of free p-algebras, which is purely algebraic, that is, it operates on strictly meet-irreducible congruences. Our description is easier to use than the previous ones, and moreover it enables us to obtain a normal form theorem for p-algebra terms. Time permitting we will say a few things on the lattice of subquasivarieties.
09.04.24, A. Stocka (Uniwersytet w Białymstoku), Przecięcia podgrup maksymalnych.
Abstrakt: Przez G będziemy rozumieć grupę skończoną. Rodzinę M podgrup maksymalnych grupy G będziemy nazywać niezależną (nieredukowalną), jeśli przecięcie wszystkich podgrup należących do rodziny M jest istotnie mniejsze niż przecięcie dowolnej właściwej podrodziny rodziny M. Wymiarem maksymalnym grupy G nazwiemy moc największej niezależnej rodziny podgrup maksymalnych grupy G. Celem referatu jest przedstawienie własności niezależnych rodzin podgrup maksymalnych grup skończonych oraz własności wymiaru maksymalnego takich grup.
26.03.24 (WYJĄTKOWO ONLINE), F. Paoli (Università degli Studi di Cagliari), Multi-relation Agassiz sums of algebras.
Abstract: Płonka sums are a powerful technique for the representation of algebras in regular varieties. However, certain representations of algebras in irregular varieties – like Polin's variety or the variety of pseudocomplemented semilattices – bear striking similarities to Płonka sums, although they differ from them in some important respects. We aim at finding a convenient umbrella under which all these constructions, as well as other ones of a similar kind, can be subsumed. We introduce a multi-relation variant of Grätzer and Sichler’s Agassiz sums that encompasses Płonka sums as a special case. We prove that the above-mentioned representations of Polin algebras and pseudocomplemented semilattices can be recast in terms of sums over appropriate bi-relation Agassiz systems. Finally, we investigate the problem as to which identities are preserved by the construction. Joint with Ludovico Fusco (Università degli Studi di Urbino "Carlo Bo").
19.03.24, Ł. Kubat (Uniwersytet Warszawski), O algebrach Yanga-Baxtera.
Abstrakt: Równanie Yanga-Baxtera, jedno z ważniejszych równań fizyki matematycznej, legło u podstaw dynamicznego rozwoju teorii grup kwantowych i algebr Hopfa. Dziś gra ono istotną rolę także w wielu innych gałęziach matematyki i fizyki teoretycznej. Z każdym (teorio-zbiorowym) rozwiązaniem (X,r) równania Yanga-Baxtera związany jest monoid M(X,r) i jego algebra półgrupowa KM(X,r) nad ciałem K; algebry tego typu nazywamy algebrami Yanga-Baxtera. Okazuje się, że obiekty te mają wiele ciekawych własności zarówno strukturalnych, jak i kombinatorycznych oraz homologicznych. W referacie postaram się opowiedzieć o niektórych z nich.
12.03.24, J. Rozicki, Kompleksy wielościenne indukowane przez tropikalne politopy.
Streszczenie: W referacie kontynuujemy temat rozpoczęty w poprzednim semestrze, omawiając drugą część mojego licencjatu, która dotyczy pewnych kompleksów wielościanowych indukowanych przez zbiory generujące tropikalne politopy. Rozpoczynamy od przypomnienia definicji takich pojęć jak tropikalny politop, tropikalna hiperpłaszczyzna oraz tropikalna przestrzeń rzutowa. Następnie analizujemy typ punktu względem zbioru generującego tropikalny politop. Kolejnym tematem są podziały tropikalnej przestrzeni rzutowej indukowane przez zbiory generujące tropikalne politopy. Na zakończenie prezentujemy podziały tropikalnych politopów na politopy euklidesowe.
05.03.24, K. Yamamoto (IM PAN), A logic for compact structures.
Abstract: A novel spatial logic for second-countable T1 compact spaces and relational expansions thereof will be presented. This logic is based on Kruckman's "cologic" for Stone spaces as well as duality theory for second-countable T1 compact spaces and certain posets by Bartoš, Bice, and Vignati. The logic has syntax and semantics of reminiscent of multimodal logic, but unlike ordinary spatial logics, which express logical information of topological spaces, it expresses global information about topological structures. After seeing the definition of the logic, we will go over the Löwenheim-Skolem theorem, types over the empty set, homogeneity of atomic models, and the omitting types theorem. Finally, as an application, we see that the homogeneity of the pseudo-arc can be seen as the atomicity of the structure. This work is done under the supervision of Maciej Malicki.
SEMESTR ZIMOWY 2023/2024, sala 431 Gm. MiNI, wtorki 12.15-13.30
23.01.24, P. Jedlička (Czech University of Life Science, Prague), Set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation of level 2.
Abstract: The Yang-Baxter equation is an equation from particle physics. Set-theoretic solutions form a class of solutions of this equation. One of the simplest classes are those of level 2; involutive ones among them were described in our previous works with Agata Pilitowska and Anna Zamojska-Dzienio. Now we started to look at non-involutive ones, trying to generalize our previous results.
16.01.24, P. Radecka, Losowe systemy ewolucyjne.
Abstrakt: W pierwszej części wystąpienia opowiem czym jest system ewolucyjny oraz podam proste przykłady. Wyjaśnię kluczowe własności takich systemów, takie, jak amalgamacja i absorpcja, a także pokrótce przedstawię, co udało nam się udowodnić do tej pory i co planujemy zrobić w przyszłości. W drugiej części opowiem o losowych systemach ewolucyjnych. Podam definicję, przytoczę wraz ze szkicem dowodu lemat określający kiedy kogranica ewolucji jest izomorficzna z prawdopodobieństwem 1 z wcześniej ustalonym obiektem. Podam przykłady takich systemów dotyczące m.in. grafów skończonych czy liniowych porządków.
04.01.24 (wyjątkowo w czwartek, godz. 10:15, s. 318) J.D.H. Smith (Iowa State University), Quaternions and the homogeneous linearization of quasigroups.
19.12.23 (przesunięte z 05.12.23), M. Malicki (IM PAN), Przestrzenie zwarte jako zbiory uporządkowane.
Abstrakt: A. Bartoš, T. Bice i A. Vignati odkryli niedawno dualność pomiędzy przestrzeniami zwartymi z bazą przeliczalną spełniającymi aksjomat T1 oraz częściowymi porządkami z gradacją typu omega (graded omega-posets). Podejście to pozwala m.in. na elementarne konstrukcje klasycznych przestrzeni, takich jak miotełka Lelka, czy pseudołuk, w duchu teorii Fraïsségo. Pokażemy jak wykorzystać tę dualność do badania grup homeomorfizmów przestrzeni zwartych. Podamy charakteryzację przestrzeni zwartych Hausdorffa z bazą przeliczalną, dla których grupa homeomorfizmów ma rezidualną klasę sprzężenia. Jako jej zastosowanie pokażemy, że istnieje rezidualna klasa sprzężenia w grupie homeomorfizmów miotełki Lelka, a także gęsta klasa sprzężenia w grupie homeomorfizmów pseudołuku. Wyniki te są częścią projektu badawczego prowadzonego wspólnie z T. Bicem.
12.12.23, A. Mata, Kratowe aspekty geometrii wypukłych.
Abstract: A convex geometry (CG) is a finite closure system with the anti-exchange property. As a lattice it may be generated by permutations on a finite set. Convex geometries are included in the broader class - join semi-distributive lattices SDv, and they include a subclass D of distributive lattices. SDv also extends a subclass B of bounded lattices well-known in universal algebra. In the nineties, a series of papers studied Frattini sublattice, which is an intersection of maximal sublattices in a given lattice, and considerable progress was done for lattices in classes D and B. But not much was known about classes CG and SDv. In this talk we show some results about maximal sublattices and Frattini sublattice in these classes. In particular, there is a full description of maximal sublattices in convex geometries of convex dimension 2. These are structures dual to the class of SPS lattices, for which about 50 papers were published in the last decade, recently targeting congruence lattices. This is joint work with K. Adaricheva, S. Silberger, and A. Zamojska-Dzienio.
28.11.23, ONLINE, godz. 15:00, C. Depies (Iowa State University), Octonions as Clifford-like algebras.
Abstract: The octonions are the last in a series of numbers that starts with the reals, and progresses through the complex numbers and quaternions by means of the Cayley-Dickson process. The octonion algebra is not associative, but satisfies the weaker property of alternativity. Clifford algebras are quotients of free associative or tensor algebras and are defined by a universal property. Unlike the quaternion algebra, the octonion algebra is not a Clifford algebra, since it is not associative. However, it has many properties in common with Clifford algebras. In this talk, the octonions and other Cayley-Dickson algebras are constructed in a Clifford-like way which allows for a universal property similar to the one Clifford algebras possess.
21.11.23, M. Hryniewicka (Uniwersytet w Białymstoku), Klamry Hopfa, wiązary Hopfa, sterty Hopfa.
Abstrakt: Strukturę Hopfa definiujemy jako system algebraiczny $(C,\Delta,\varepsilon,[-,-,-])$ złożony z koalgebry z kojedynką $(C,\Delta,\varepsilon)$ oraz homomorfizmu koalgebr z kojedynką $[-,-,-]\colon C\otimes C^{co}\otimes C\rightarrow C$ spełniającego łączność $[[x,y,z],t,u]=[x,y,[z,t,u]]$ oraz tożsamość Mal'ceva $\sum [x_1,x_2,y]=\sum [y,x_1,x_2]=\varepsilon (x)y$ dla wszystkich $x,y,z,t,u\in C$, gdzie $\Delta (x)=\sum x_1\otimes x_2$. Każdą algebrę Hopfa $(H,\cdot,1,\Delta,\varepsilon,S)$, gdzie $S\colon H\rightarrow H$ jest antypodą, możemy przekształcić w stertę Hopfa $(H,\Delta,\varepsilon,[-,-,-]_\cdot)$ definiując $[x,y,z]_\cdot =x\cdot S(y)\cdot z$ dla wszystkich $x,y,z\in H$. Na odwrót, startując od sterty Hopfa $(C,\Delta,\varepsilon,[-,-,-])$ i ustalając dowolny element grupopodobny $e\in G(C)$ możemy przejść do algebry Hopfa $(C,\cdot_e,e,\Delta,\varepsilon,S_e)$, gdzie $x\cdot_e y=[x,e,y]$ oraz $S_e(x)=[e,x,e]$ dla wszystkich $x,y,z\in C$.
07.11.23, J. Krzaczkowski (UMCS), Złożoność obliczeniowa problemów związanych z rozwiązywaniem równań nad skończonymi algebrami.
Abstrakt: Rozwiązywanie równań to jeden z klasycznych problemów matematycznych. Trudność rozwiązywania równań istotnie zależy od operacji występujących w równaniu oraz dziedziny, w której szukamy rozwiązań (czyli od struktury algebraicznej, w której równanie rozwiązujemy). Przykładowo, nie istnieje algorytm stwierdzający czy równanie wielomianów nad pierścieniem liczb całkowitych ma rozwiązanie czy nie (pytanie o istnienie takiego algorytmu, stanowiło 10. ze słynnych problemów Hilberta). Z drugiej strony, taki algorytm zawsze istnieje dla skończonych struktur. Prawdopodobnie jednak nie zawsze istnieje szybki algorytm. W trakcie wystąpienia przedstawię wyniki dotyczące charakteryzacji skończonych algebr (struktur algebraicznych), dla których istnieją szybkie algorytmy rozwiązujące problemy związane z rozwiązywaniem równań.
24.10.23, J. Rozicki, Zbiory tropikalnie wypukłe.
Abstrakt: Referat dotyczy mojej pracy licencjackiej o zbiorach tropikalnie wypukłych w półmodułach tropikalnych. Zaprezentowane zostaną definicje, twierdzenia oraz pewne własności zbiorów tropikalnie wypukłych i tropikalnych hiperpłaszczyzn. W szczególności są to twierdzenie Caratheodory’ego oraz lemat Farkasa, które są odpowiednikami twierdzeń z klasycznej teorii zbiorów wypukłych.
17.10.23, A. Romanowska, Algebry barycentryczne a współrzędne barycentryczne 3.
Abstrakt: Będzie to kontynuacja dwóch poprzednich referatów. Opowiem o naszej najnowszej metodzie znajdowania współrzędnych barycentrycznych punktów dowolnych wielościanów wypukłych.
10.10.23, Spotkanie organizacyjne.
SEMESTR LETNI 2022/2023, sala 431 Gm. MiNI, wtorki 12.15-13.30
22.06.23, (Wyjątkowo w CZWARTEK !) i wyjątkowo dwa referaty:
Sala 431 MiNI, godz. 10:00, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, U.S.A.), Supersets, superproducts and superquasigroups
Abstract: The Clifford algebra of a direct sum of real quadratic spaces appears as the superalgebra tensor product of the Clifford algebras of the summands. Here, we present a set-theoretical version of the superalgebra tensor product which will be applicable equally to groups and quasigroups. Using basic four-element supergroups and superquasigroups as building blocks, our construction recovers the quaternion and dihedral groups of order eight, along with a loop, the quatedral loop, which interpolates between them and shares their character table. Joint with Bokhee Im (Chonnam National University, Gwangju, R. of Korea).
Sala 431 MiNI, godz. 10:50, M. Ashburn (Iowa State University, Ames, Iowa, U.S.A.), Isomorphisms of vector-matrix algebras
Abstract: We begin by considering anticommutative formed algebras: Anticommutative algebras with a distinguished bilinear form. Typically, we will consider bilinear forms that are symmetric, invariant, and possibly non-degenerate. The best examples of such formed algebras are Lie algebras along with their Killing form. From these formed algebras, we then construct a family of non-associative algebras called vector-matrix algebras, inspired by Zorn's vector-matrix construction of the split octonions. Isomorphisms of these vector-matrix algebras can be reduced to constructing specific types of isotopies between their underlying formed algebras. Furthermore, given such an isotopy of formed algebras, we construct the corresponding isomorphism between their vector-matrix algebras. We explore the properties of these isotopies, looking for conditions under which two formed algebras will produce isomorphic vector-matrix algebras. Specifically, we examine anticommutative algebras along with their Killing forms, before focusing on examples of specific Lie algebras with bilinear forms that exhibit such isotopies.
13.06.23, A.O. Basheyeva (Eurasian National University, Astana IT University, Kazakhstan), On quasivarieties generated by some finite lattices.
Abstract: In 1984 V.I. Tumanov conjectured that a proper quasivariety generated by a finite modular lattice is not finitely based. He also found two conditions for quasivarieties which provide this conjecture. We construct a finite modular lattice that does not satisfy Tumanov’s conditions but quasivariety generated by this lattice is not finitely based. Coauthor: S.M. Lutsak (M. Kozybayev North Kazakhstan University, Kazakhstan).
30.05.23, T. Brengos, Two modes of recognition: algebra, coalgebra and languages
Abstract: In this presentation, we will discuss the connection between coalgebraic and algebraic language theory for monads. We define regular maps for a pair of monads that model the branching and linear type, extending the concept of regular languages in classical non-deterministic automata theory. These maps, while representing certain automata behaviors, also emerge from Eilenberg-Moore algebras and their homomorphisms, using the duality between the category of Eilenberg-Moore algebras and saturated coalgebras. Under specific assumptions, we will demonstrate that regular maps constitute a distinct subcategory of the Kleisli category for the monad, which is a combination of the branching and linear type. We will also present a Kleene-like theorem that describes the regular morphisms category as the smallest subcategory, stable under certain operations. We will further show that when the branching type monad is considered as the powerset monad, regular maps can be identified by certain functors whose codomains are categories with all finite hom-sets. Lastly, we will implement this framework on various types of automata, such as classical non-deterministic automata, tree automata, fuzzy automata, and weighted automata.
23.05.23, R. Lutowski (Uniwersytet Gdański), Nierozwiązalne grupy Bieberbacha.
Abstrakt: Wirtualnie policykliczne grupy beztorsyjne pełnią ważną rolę w geometrii jako grupy podstawowe zwartych rozmaitości, skończenie nakrytych przez rozwiązalną grupę Liego. J.A. Hillman postawił pytanie o minimalną rangę Hirscha grup z tej rodziny, przy dodatkowym założeniu, że są one nierozwiązalne. W swoim referacie skupię się na powyższym problemie w przypadku beztorsyjnych grup wirtualnie abelowych - grup Bieberbacha. Przedstawione wyniki powstały we współpracy z A. Szczepańskim.
16.05.23, G. Bajor, O algebraicznych własnościach algebr ścieżek Leavitta.
Abstrakt: W trakcie referatu wprowadzę algebrę ścieżek Leavitta i przedstawię jej podstawowe własności. Jednym z podstawowych przykładów algebr ścieżek Leavitta jest algebra macierzy nad ciałem. Znany wynik Schura, mówi że wymiar maksymalnej przemiennej podalgebry algebry macierzy n x n wynosi [n^2/4] + 1. Wynik ten stanowi jedną z motywacji do konstrukcji przemiennej podalgebry algebry ścieżek Leavitta, którą przedstawię w dalszej części prezentacji.
25.04.23 (wyjątkowo ONLINE!), B. Rybołowicz, (Herriot-Watt University), Od prawie wiązarów do teorio zbiorowego równania Yanga-Baxtera
Abstrakt: Referat będzie wstępem do prawie wiązarów, tak więc najpierw wprowadzę pojęcie prawie wiązaru, podam kilka przykładów i omówię ich podstawowe własności. Następnie wyjaśnię jak do prawie wiązarów z jedynką możemy przypisać rozwiązania teorio zbiorowego równania Yanga-Baxtera używając obecnie znanych metod pochodzących od klamerek. Na koniec omówię własności otrzymanych rozwiązań i porównam je z uogólnieniami rozwiązań Wolfganga Rumpa z 2007 roku.
18.04.23, T. Brzeziński (Swansea University), Kohomologia Hochschilda wiązarów.
28.03.23, M. Grech (Politechnika Wrocławska), Symetrie funkcji boolowskich, czyli czy twierdzenie Clote i Kranakisa jest prawie prawdziwe.
Abstrakt: W 1991 r. Clote i Kranakis dali dowód, że każda grupa permutacji będąca grupą symetrii k-wartościowej funkcji boolowskiej jest grupą symetrii (2-wartościowej) funkcji boolowskiej. W 1998 r. Kisielewicz zauważył, że dowód jest błędny, oraz znalazł kontrprzykład. Nie udało się jednak ustalić, czy jest on unikalny i można podać inny dowód tego twierdzenia uwzględniający ten wyjątek (oryginalny dowód jest nie do naprawienia), czy twierdzenie jest nieprawdziwe. W 2012 r. Dalla Volta i Siemons wskazali kilka nieskończonych rodzin orbitowo domkniętych grup permutacji, które nie są grupami relacyjnymi. W innym języku znaczy to, że są one grupami symetrii k-wartościowej funkcji boolowskiej (dla pewnego k) ale nie są grupami symetrii funkcji boolowskiej. Ten wynik obala poprzednie twierdzenie. Jak jednak zauważyliśmy, autorzy niepoprawnie zastosowali twierdzenie Seressa i Yanga. Okazało się, że żaden z tych przykładów nie jest prawdziwy. Pytanie pozostaje więc otwarte.
21.03.23, M. Łazarz (Uniwersytet Wrocławski), O elementach implikacja-nierozkładalnych w skończonych kratach Heytinga.
Abstrakt: Motywacją moich badań jest prosty fakt z teorii krat stwierdzający, że w każdej skończonej (ogólniej: spełniającej warunek DCC) kracie, każdy element może być przedstawiony jako supremum elementów ∨-nierozkładalnych. Wiadomo, że w skończonych kratach dystrybutywnych można zdefiniować operację implikacji, a → b = sup { x : a ∧ x ≤ b }, a co za tym idzie, można zapytać, które elementy w kracie są →-nierozkładalne. Jeśli już wiadomo, które elementy są →-nierozkładalne, powstaje kwestia jak wiele innych elementów można za ich pomocą ,,wygenerować'' (jako czysto implikacyjne wielomiany). Przykładowo, w kratach Boole'owskich jest tylko jeden element →-nierozkładalny, zero kraty, a za jego pomocą można ,,wygenerować'' tylko jeden nowy element: jedynkę kraty. Właściwy problem brzmi: jaka musi być krata, aby każdy jej element dało się ,,wygenerować'' z elementów implikacja-nierozkładalnych? Problem ten wydaje się trudny. W trakcie referatu przedstawię pewne częściowe rozwiązania oraz hipotezy.
14.03.23, W. Kubiś (Czech Academy of Sciences, Prague), Generic topological graphs.
Abstract: By a topological graph we mean a topological space with a closed graph relation. We shall discuss possible analogs of the random graph within Polish spaces. It turns out that there is no such a graph on compact spaces, however there is a homogeneous universal closed graph on the Baire space.
Joint work with C. Pech and M. Pech.
28.02.23, A. Romanowska, Algebry barycentryczne a współrzędne barycentryczne (kontynuacja).
SEMESTR ZIMOWY 2022/2023, sala 318 Gm. MiNI, wtorki 12.15-13.30
24.01.23, P. Jedlicka (Czech University of Life Science, Prague), Distributive and trimedial quasigroups of order 243
Abstract: We study non-medial distributive quasigroups using affine representations over commutative Moufang loops. We enumerate that there are 92 such quasigroups of order 243, among them 1 Steiner and 6 Mendelsohn quasigroups (they correspond to combinatorial designs called Steiner and Mendelsohn triple systems).
03.01.23, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, U.S.A.), Multiplication groups and their applications
Abstract: The multiplication group Mlt Q of a quasigroup Q is the subgroup of the group Q! of permutations of the set Q that is generated by all the right multiplications R(q):Q→Q;x↦xq and left multiplications L(q):Q→Q;x↦qx by elements q of Q.
We present some applications of multiplication groups of quasigroups:
- Specification of the (permutation) actions C_n,D_n,S_n as multiplication groups of quasigroups;
- Representation theory and Pontryagin duality of dihedral groups;
- New descriptions of the Pauli group of order 16, as it appears in quantum information theory;
- Analysis of the automorphism group of the extra-special group of order 32, which contains the Pauli group as a subgroup of index 2.
13.12.22, A. Romanowska, Algebry barycentryczne a współrzędne barycentryczne
Abstrakt: Przestrzenie afiniczne nad ciałem R liczb rzeczywistych można okreslić jako pewne algebry z operacjami binarnymi indeksowanymi przez liczby rzeczywiste, a zbiory wypukłe w takich przestrzeniach jako algebry z podobnymi operacjami indeksowanymi przez odcinek jednostkowy I. Algebry definiujące zbiory wypukłe generują rozmaitość algebr barycentrycznych. W pierwszej części referatu przypomnę najważniejsze fakty dotyczące takich algebr, w szczególności pewne własności wielokątów i wielościanów traktowanych jako algebry barycentryczne.
Każdy punkt wielościanu można przedstawić jako tzw. kombinację barycentryczną jego wierzchołków. W pewnych zastosowaniach zbiorów wypukłych (np. w grafice komputerowej) istotną rolę odgrywają metody znajdowania współrzędnych barycentrycznych danego punktu wielościanu, gdy dane są jego wierzchołki. Druga część referatu będzie wprowadzeniem do zagadnień dotyczących takich metod, badanych w projekcie realizowanym przez Jonathana D. H. Smitha, A. Zamojską-Dzienio, i A. Romanowską.
06.12.22, A. Zamojska-Dzienio, O przestrzeniach Chu
Abstrakt: Przestrzenią Chu nad zbiorem K nazywamy trójkę (O,A,e), gdzie O, A są zbiorami (odpowiednio: obiektów i atrybutów), zaś e:OxA-->K funkcją ewaluacji. Cieszą się one zainteresowaniem z powodu swojej uniwersalności, tzn. można za ich pomocą opisać bardzo wiele różnorodnych struktur matematycznych np. przestrzenie topologiczne, przestrzenie wektorowe, grupy, struktury logiczne (m.in. modele logiki liniowej) itd. Podczas referatu omówię podstawowe własności i przykłady, w oparciu o prace S.Abramsky'ego, M.Barra, V.Pratta dotyczące tej tematyki.
29.11.22, T. Penza, Warunki dostateczne na to, aby produkt Malceva dwóch rozmaitości był rozmaitością
Abstrakt: Produkt Malceva rozmaitości V i W to klasa złożona ze wszystkich algebr posiadających kongruencję, taką że algebra ilorazowa należy do W, a każda klasa abstrakcji będąca podalgebrą należy do V. Produkt Malceva rozmaitości może nie być rozmaitością, ponieważ może nie być domknięty ze względu na obrazy homomorficzne. Zaprezentuję nowy warunek dostateczny na to, aby produkt Malceva rozmaitości był rozmaitością. Przedstawię szkic dowodu oraz omówię najciekawsze wnioski.
22.11.22, J. Miller, Teoria typów zależnych Martina-Löfa
Abstrakt: Odpowiedź na pytanie czym jest teoria typów jest bardzo prosta. Jest to nauka badająca typy, czy bardziej precyzyjnie, pewne systemy formalne, zwane systemami typów. Pytanie czym jest typ jest jednak trudniejsze. Typy są tworami czysto formalnymi leżącymi u podstaw systemów typów, jednak możemy interpretować je na wiele sposobów. Podstawową interpretacją jest patrzenie na typy jak na zbiory, a na termy danego typu jak na elementy danego zbioru. Dużo bardziej wyrafinowaną interpretacją jest tak zwany izomorfizm Curry’ego-Howarda. Utożsamia on typy z wyrażeniami logicznymi, a termy danego typu z dowodami danego wyrażenia. W prostych systemach typów, takich jak prosto typowany rachunek lambda, nie mamy jednak typów, które odpowiadałyby wyrażeniom z kwantyfikatorami. By obsłużyć kwantyfikatory potrzebujemy tak zwanych typów zależnych. W swoim referacie postaram się przedstawić podstawy tak zwanej teorii typów zależnych Martina-Löfa, w którą zanurzyć można logikę pierwszego rzędu.
15.11.22, P. Radecka, Systemy ewolucyjne
Abstrakt: Abstrakcyjny system ewolucyjny można zdefiniować jako kategorię wyposażoną w określoną klasę morfizmów zwanych tranzycjami oraz ustalony obiekt tej kategorii - obiekt początkowy. Zilustruję to pojęcie przykładami i podam istotne własności i pojęcia z nimi związane. Przedstawię twierdzenie o istnieniu ewolucji z własnością absorpcji oraz udowodnię wariant lematu Newmana, który okazuje się być prawdziwy nie tylko w teorii systemów przepisywania, ale i w świecie systemów ewolucyjnych.
08.11.22, M. Stronkowski, Dopuszczalność w Pavelkanizacji logiki produktowej
Abstrakt: Przedstawimy aksjomatyzację quasi-rozmaitości generowanej przez algebrę $Q_P$, której zbiór elementów to zbiór liczb wymiernych z przedziału [0,1], każdy element jest desygnowany jako stała, oraz istnieją dwie operacje binarne: mnożenie i jego rezyduacja: a-> b = b/a jeśli a<b oraz 1 w.p.p.
Kontekst: Logika produktowa, wprowadzona przez Hajka, Godo i Estevę to jedna z 3 podstawowych logik rozmytych. Wraz z logiką Łukasiewicza i logiką Godla jest ona filarem dla podstawowej logiki Hajka opisującej ciągłe t-normy. Chociaż są to logiki rozmyte, nie mają one możliwości wyrażenia stwierdzeń w stylu "ten abstrakt jest głupi przynajmniej w połowicznym stopniu". Pavelka zaproponował rozszerzenie logiki Łukasiewicza poprzez dodanie wymiernych stałych. Umożliwiło to rozważanie prawdziwości formuł postaci c->p, czyli p jest prawdziwe przynajmniej w stopniu c.
Badamy wpływ dodania stałych, jak to zrobił Pavelka, na kratę rozszerzeń trzech przedstawionych logik rozmytych. Na referacie zostanie przedstawiony wycinek naszych badań opisujących bazę reguł dopuszczalnych dla logiki produktowej rozszerzonej o stałe wymierne. Wspomnimy też o związkach z uporządkowanymi grupami abelowymi.
Uwaga: dla zrozumienia wykładu nie trzeba znać się na logice rozmytej (ja się na niej nie znam).
Wszystkie przedstawiane wyniki zostały uzyskane w ramach współpracy z Joanem Gispertem, Zuzaną Hanikovą oraz Tommaso Moraschinim.
25.10.22, A. Mata, O maksymalnych podkratach pewnych skończonych krat, kontynuacja
18.10.22, A. Zamojska-Dzienio, O maksymalnych podkratach pewnych skończonych krat
Abstrakt: Wiadomo, że w skończonej kracie rozdzielnej dopełnienie podkraty maksymalnej jest zawsze odcinkiem (I. Rival, 1973). Podobny rezultat zachodzi dla skończonych krat ograniczonych w sensie McKenziego (M.E. Adams, R. Freese, J.B. Nation, J. Schmid, 1997). Kraty rozdzielne tworzą właściwą podklasę krat ograniczonych w sensie McKenziego. Pojawia się więc pytanie, jak w tym kontekście zachowują się kraty półdystrybutywne (tutaj kraty ograniczone tworzą właściwą podklasę). W naszej pracy skupiliśmy się na geometriach wypukłych (kratach sumowo-półdystrybutywnych), podczas referatu przedstawione zostaną pierwsze rezultaty. Są to wspólne badania z Kirą Adarichevą, Sylvią Silberger i Adamem Matą.
11.10.22, zebranie organizacyjne
27.09.22 (stacjonarnie w sali 103) K. Adaricheva (Hofstra University, NY, USA), We thought we knew about circles
Abstract: Convex geometries are closure systems with the Anti-Exchange Axiom, which are ubiquitous in Discrete Mathematics, but also came up in infinite form in Universal Algebra. Important model of convex geometries is given by point configurations in R^n, together with convex hull operator. Since not all finite convex geometries can be represented that way, it was suggested by G. Czedli in 2013 to generalize representation by using balls instead of points. Moreover, he showed that it is enough to use circles in R^2 to represent all convex geometries of convex dimension 2. Since then, a flurry of papers appeared investigating representation of geometries by convex shapes, and by circles on the plane, in particular.
In 2020, in the middle of pandemic that cancelled many in-person projects for undergraduates, I participated in the PolyMath REU project that allowed more than 300 undergraduates from US and other countries to participate virtually in a number of projects conducted by big subgroups of students under mentor’s supervision. 17 students in my group, within 10 weeks project June-August 2020, were able to catalogue representations by circles on the plane of 672 convex geometries on 5-element set. 7 students from this group continued to work for two more academic years to conclude that 38 geometries from this set cannot be represented by circles for a good reason: there are some properties of circle configurations on the plane that prohibit formation of some geometries. In summer 2022, in New York Combinatorics REU, where I was in-person mentor of two students, we attempted to understand whether the result of Czedli of 2013 can be extended to geometries of convex dimension 3.
This talk is accessible to undergraduate students, especially to those who heard before about matroids, antimatroids or convex geometries, possibly, in the context of special set systems.
SEMESTR LETNI 2021/2022, sala 318 Gm. MiNI i platforma ZOOM, wtorki 12.15-13.30
07.06.22 (stacjonarnie w sali 318) M. Jastrzębska (Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach), Wybrane własności krat anihilatorów w pierścieniach łącznych
Abstract: Hopf algebras provide self-dual linearizations of groups, while quantum quasigroups do the same for quasigroups (where associativity is no longer demanded). As the title suggests, this talk is designed to give a gentle introduction to these structures.
Using quasigroups, we extend the definition of a field to include the field GF(1) with one element, and view the category of sets under the cartesian product as a category of spaces over GF(1) under the tensor product. Hopf algebras appear from the transition to larger fields.Quantum quasigroups have a much simpler axiomatization than Hopf algebras, which then become special quantum quasigroups. The most elementary quantum quasigroups are seen naturally in the “controlled-not” gates of quantum computers.
24.05.22 (na platfomie Zoom) , W. Kubiś (Czech Academy of Sciences, UKSW), Homogeneous linear spaces
Abstract: A linear space is a structure consisting of points and lines,
satisfying the obvious axioms. Perhaps the best ones are projective
planes. A structure is *homogeneous* if every finite partial isomorphism
extends to an automorphism. It turns out that the only nontrivial
homogeneous linear spaces are the two smallest projective planes. We
shall present the proof of homogeneity of the Fano plane through
amalgamations
of certain small linear spaces.
Joint work with Piotr Nowakowski and Tomasz Rzepecki.
17.05.22 (stacjonarnie w sali 318) G. Bińczak, Matrix representation of finite effect algebras
26.04.22 (na platfomie Zoom) , M. Dagli (Amasya University, Turkey), Linear and non-linear loop-transversal codes
Abstract: Loop transversal codes were
introduced by Jonathan D.H. Smith as an alternative
approach to error-correcting codes. They are constructed
by defining a loop structure on the set of errors. In this
talk, we present our recent results on loop transversal
codes. We show that an error set corresponding to a linear
code obtained from a circulant graph with an equally
spaced dominating set has the structure of an abelian
group. Then we characterize all error balls of order 3,4
or 5. Finally, we construct nonlinear codes by using the
wreath product of a cycle of length divisible by 3 and a
complete graph. In contrast with the various loop
transversal codes studied previously, the loop structures
on the error sets of these codes may be nonassociative.
05.04.22, P. Radecka, Abstrakcyjne systemy ewolucyjne
Abstrakt: Abstrakcyjny system ewolucyjny ("Evolution system") można zdefiniować jako kategorię wyposażoną w określoną klasę morfizmów zwanych przejściami oraz wybrany obiekt początkowy. Z drugiej strony można go również postrzegać jako uogólnienie abstrakcyjnych systemów przepisywania, w których zbiór częściowo uporządkowany jest zastąpiony kategorią. Zilustruję to pojęcie przykładami i podam istotne własności. Wskażę związek między systemami ewolucyjnymi a granicami Fraïssé'go znanymi z teorii modeli. Podam szkic dowodu dwóch ważnych twierdzeń - o istnieniu ewolucji z własnością absorpcji oraz wariant lematu Newmana, który okazuje się być prawdziwy nie tylko w teorii systemów przepisywania, ale i w świecie systemów ewolucyjnych.
01.04.22 (wyjątkowo w piątek o godz. 12.15, stacjonarnie w sali 216) T. Brzeziński (Swansea University), O afebrach, czyli o algebrach Liego i łącznych na przestrzeniach
afinicznych
Abstrakt: Referat ma dwa cele. Pierwszym jest przedstawienie afinicznego odpowiednika algebry łącznej, tzn. przestrzeni afinicznej z łącznym, biafinicznym mnożeniem. Drugim jest sformułowanie pojęcia afebry Liego wprowadzonego w pracy [K. Grabowska, J. Grabowski, P. Urba'nski, Lie brackets on affine bundles, Ann. Global Anal. Geom. 24 (2003), 101-130], czyli przestrzeni afinicznej z nawiasem Liego, bez odwoływania się do przestrzeni liniowych.
22.03.22 (wyjątkowo o godz. 18.15 na platfomie Zoom) K. Adaricheva (Hofstra University, New York, USA), A Primer of Subquasivariety Lattices: a book overview
Abstrakt: The book titled ``A Primer of Subquasivariety Lattices" is about to get published by Springer branch in CMS: The Canadian Mathematics Society. It is co-authored by KA (Hofstra University, US), Jennifer Hyndman (University of Northern British Columbia, Canada), J.B.Nation and Joy Nishida (both University of Hawai'i, US).
The book addresses the famous Birkhoff-Malcev's Problem: describe the lattices of varieties and lattices of quasivarieties -- and it focuses on the lattices of subquasivarieties. Most results of the book are novel and did not appear in print before.
The initial chapter of the book develops the foundations of atomic theories and implicational theories in languages that may or may not contain equality.
The lattices of subquasivarieties are described as lattices of algebraic subsets of a lattice with operators, which allows to obtain new restrictions in the form of properties of the equa-closure operator, a long-standing tool for study of quasivarieties lattices since 1980th.
As one of important applications, it is shown that a complete distributive lattice with a dually compact zero is represented as a quasivariety lattice.
Many new examples are shown for representations in the languages without equality, and the path for representation with equality is outlined.
15.03.22, A. Pilitowska, Jednostronne quasigrupy i rozwiązania Yanga-Baxtera
Abstrakt: Równanie Yanga-Baxtera jest fundamentalnym równaniem
występującym w modelach mechaniki statystycznej i teorii kwantowej.
Znalezienie wszystkich jego rozwiązań jest zadaniem niezwykle trudnym i
skomplikowanym. Stąd w 1992r. Drinfeld zaproponował opisanie tzw.
teorio-mnogościowych rozwiązań tego równania. W trakcie referatu
przedstawię konstrukcję pewnej klasy takich rozwiązań w oparciu o
jednostronne quasigrupy.
08.03.22, S. Kost (Uniwersytet Opolski), Skończona unifikacja w lokalnie tabularnych logikach modalnych
Abstrakt: Zostanie przedstawione negatywne rozwiązanie problemu: czy
każda proskończona algebra Heytinga jest izomorficzna z proskończonym
domknięciem dowolnej algebry Heytinga. Głównym naszym narzędziem jest
dualność Esakiego między kategorią algebr Heytinga a kategorią
przestrzeni Esakiego. Pozwala to podać przykłady zbiorów uporządkowanych
o skończonej głębokości, którym nie można nadać struktury przestrzeni
Esakiego.
Wyniki zostały uzyskane w ramach współpracy z Nikiem i Guramem
Bezhanishvili oraz z Tommaso Moraschinim.
SEMESTR ZIMOWY 2021/2022, platforma ZOOM, wtorki 12.15-13.30
25.01.22, B. Rybołowicz, (Herriot-Watt University), Wiązary, pierścienie i klamerki
Abstrakt: Podczas referatu wprowadzę i omówię definicję wiązara.pierścieniami i klamrami. Na koniec pokażę, w jaki sposób można
zmodyfikować wzór L. Guarnieri i L. Vendramina, by otrzymać
niebijektywne rozwiązanie teorio zbiorowego równania Yanga-Baxtera ze
skośnego wiązara z jedynką.
18.01.22 (WYJĄTKOWO o godz 18.00!), A. Zamojska, O dystrybutywnych rozwiązaniach YBE
Abstrakt: Przedstawimy klasę nie-inwolutywnych rozwiązań YBE uogólniających rozwiązania pochodne. Są to wyniki uzyskane wspólnie z P. Jedlicką i A. Pilitowską.07.12, A. Mućka, Zliczanie generatorów skończenie generowanych wypukłych zbiorów diadycznych
30.11, P. Jedlicka (Czech University of Life Science, Prague), Central nilpotency of skew braces
23.11, Alex Nowak (Charles University, Prague), The medial law in Mendelsohn triple and quadruple systems
Abstract: A Mendelsohn design MD(n, k) consists of an
n-element point set Q and a collection of cyclically ordered
k-subsets of Q with the property that each ordered pair of points
occurs in a unique block. We will discuss Mendelsohn triple
and quadruple systems (i.e. MD(n, 3) and MD(n, 4)). In
particular, we look at triple and quadruple systems that can be
constructed from medial quasigroups and how Eisenstein and
Gaussian integers allow us to classify such objects. Although the
methods are algebraic, the motivation we give for studying these
medial systems will be geometric.
16.11, Adam Mata, Logiki pośrednie skończonych zbiorów częściowo uporządkowanych
Abstrakt: Zostanie przedstawiona metoda porównania (w sensie inkluzji) logik dwóch
skończonych zbiorów częściowo uporządkowanych za pomocą tzw. minimalnych rodzin
charakterystycznych.
Następnie przedstawione zostaną dotychczas uzyskane wyniki dotyczące NP
zupełności
problemu spokrewnionego z wyznaczaniem minimalnej rodziny charakterystycznej
skończonego zbioru częściowo uporządkowanego, a mianowicie znalezienia surjektywnego p-morfizmu pomiędzy dwoma skończonymi strukturami z
porządkiem.
Abstrakt: W swoim referacie przedstawię nowy warunek dostateczny na to aby produkt Malceva dwóch rozmaitości również był rozmaitością. Omówię wnioski płynące z tego wyniku oraz pokażę różne przykłady jego zastosowania.
02.11, T. Brengos, Kategorie monoidalne, internal hom-sety i ich praktyczne zastosowania w informatyce
Abstrakt:
W trakcie prezentacji będziemy rozważać pewne równanie q-komutacyjne
(zależne od parametrów) zadane w nieprzemiennej algebrze nieskończonych
ciągów wielomianów z niestandardowym mnożeniem. Wiadomo, że równanie to
ma jednoznaczne rozwiązanie, ale do tej pory było ono znane tylko w
szczególnych przypadkach. W moim referacie przedstawię jego postać dla
szerokiej klasy parametrów, która, jak się okazuje, jest ściśle
powiązana z wielomianami ortogonalnymi Askey-Wilsona. Przedstawione
wyniki zostały uzyskane wspólnie z prof. Jackiem Wesołowskim.
Program z lat ubiegłych znajduje się w Archiwum.