A simple approach for normalized solutions to a coupled system of two Schrödinger-Poisson equations

O regularności rozwiązań równania Naviera-Stokesa

O dwóch rodzajach zbieżności w ważonych przestrzeniach Szegö

W ważonych przestrzeniach Szegö można określić metrykę (a nawet iloczyn skalarny) za pomocą całki po brzegu rozpatrywanego obszaru. Drugim naturalnym rodzajem zbieżności na zbiorze funkcji należących do ważonej przestrzeni Szegö wydaje się być zbieżność lokalnie jednostajna na wnętrzu obszaru, po brzegu którego określona jest całka definiująca iloczyn skalarny. Zasadnym wydaje się pytanie, jak mają się do siebie te dwie topologie - są sobie równe, jedna jest mocniejsza od drugiej, a może nie zachodzi żadna z tych sytuacji? Okazuje się, że odpowiedź na to pytanie zależy od wagi całkowania.

O własnościach projekcyjnego równania różniczkowego zwyczajnego

Operator asymptotycznej własności wartości średniej

Metody monotonicznościowe - twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla różnych klas abstrakcyjnych inkluzji oraz nierówności operatorowych

Celem rozważań jest przedstawienie nowych wyników o istnieniu i jednoznaczności dla różnych klas nierówności wariacyjno-hemiwaraicyjnych oraz odpowiadających im abstrakcyjnych inkluzji operatorowych. Rozstrzygnięcie problemów istnienia i jednoznaczności dla abstrakcyjnych nierówności wariacyjno-hemiwariacyjnych będziemy opierać na teorii operatorów monotonicznych oraz ostatnich rezultatach o surjektywności dla operatorów wielowartościowych. Motywacją do naszych rozważań są zagadnienia niegładkich układów w matematycznej teorii zagadnień kontaktowych mechaniki, dla których abstrakcyjne twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności znajdują swoje zastosowania.

Paraboliczne równania różniczkowe w anizotropowych przestrzeniach niejednorodnych w przestrzeni i wzdłuż czasu

Referat będzie dotyczył zagadnień pochodzących od równań dyfuzji zachodzącej w środowisku o skomplikowanej strukturze. Opowiem o opisywaniu różnych własności niejednolitego medium, w którym taka dyfuzja może zachodzić, w kontekście oczekiwanych trudności funkcjonalno-analitycznych stosowanych niekonwencjonalnych przestrzeni funkcyjnych. Naszym celem było badanie równań z danymi zbyt słabo całkowalnymi, aby słabe rozwiązania były dobrze określone. Musimy rozważać uogólnioną definicję rozwiązania, które mają pewne dobre własności m.in. okazują się być jednoznaczne. Przestrzenie zmieniające się wzdłuż czasu są bardzo wymagające technicznie i w tym kontekście nie było w literaturze żadnych wyników dotyczących istnienia jakiegokolwiek typu bardzo słabych rozwiązań, nawet w przestrzeniach z wykładnikiem zmiennym w czasie i przestrzeni. Głównymi moimi referencjami będą prace wspólne z Piotrem Gwiazdą i Anną Zatorską-Goldstein (AIHP 2019 i JDE 2019) oraz jako kontekst przeglądowy artykuł: I.C. "A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces", Nonlinear Analysis 175 (2018), 1-27.

On the trace of Sobolev spaces on the Von Koch’s snowflake

We show that the boundary trace operator on Sobolev space of functions with summable gradient on von Koch’s snowflake has right inverse. This contrasts with the case of domains with regular boundaries in which, according to Petree’s theorem, a right inverse does not exist. Our proof is based on the characterization of the trace space. As a by-product we give a very simple proof of Petree’s theorem. The talk is based on the joint work with Michał Wojciechowski.

Dolna regularność miary konsekwencją włożeń Sobolewa

On regularity of minimizers of functionals with linear growth

We consider the minimization problem for convex integral functionals composed of a general term of asymptotically linear growth in the gradient of the argument, and a fidelity term involving the L^2 distance from a datum. A prototypical example is the Rudin-Osher-Fatemi model of image denoising and regularization involving the total variation seminorm. Such functionals are known to admit unique minimizers in the BV space. The question of relation between the singular part of the gradient of the datum and the minimizer is still largely open, especially in vectorial case. On the assumption that the domain of integration is convex, we prove that if the datum belongs to W^{1,1}, then the minimizer belongs to W^{1,1} as well. We show an example with a non-convex polygonal domain and a smooth datum, where the minimizer has jump discontinuities.

Zagadnienia brzegowe na płaszczyźnie i ich zastosowania w teorii kompozytów

Dwuwymiarowe zagadnienia brzegowe są rozpatrywane dla zagadnień teorii przewodności i zagadnień teorii sprężystości. Zagadnienia te sprowadzam do znalezienia pewnych potencjałów zespolonych spełniających odpowiednie równania. Równania te rozwiązywane są w klasie funkcji analitycznych z pochodną dla obszarów wielospójnych. Wskazana jest metoda przejścia od zagadnienia brzegowego lokalnego dla funkcji biharmonicznych do zagadnienia periodycznego w topologii torusa. Ponadto wyznaczone są dokładne wartości sum badanych szeregów kratowych.

O trywialności rozwiązań dla uogólnionego równania Gigi-Kohna

W moim wystąpieniu równaniem Gigi-Kohna będę nazywał szczególne półliniowe równanie eliptyczne, które gra kluczową rolę w opisie profili wybuchów dla półliniowego równania ciepła z potęgową nieliniowością tzw. równania Fujity. Kluczowy wynik Gigi i Kohna z lat osiemdziesiątych pokazuje, że jeżeli nieliniowość nie jest zbyt silna to, w odpowiednim układzie współrzędnych, osobliwości mają bardzo prostą strukturę. Rezultat ten jest wnioskiem z ich twierdzenia o nieistnieniu nietrywialnych rozwiązań dla równania Gigi-Kohna, które opiera się na rozbudowanych tożsamościach typu Pohożajewa. Zaskakującym aspektem teorii jest silne dostrojenie techniki dowodu z konkretną postacią równania i trudności techniczne pojawiające się przy próbie uzyskania analogicznego wyniku dla najprostszych uogólnień równania Gigi-Kohna. W swojej prezentacji przestawię pewne szczególne przypadki, w których takie uogólnienie okazało się możliwe.

Hamilton-Jacobi equations with degenerated Hamiltonians

In my talk I will discuss unique solvability of the Hamilton-Jacobi equations related to the Hamiltonians coming from multipeakons. I will show how to find a unique solution related to the 1 d simplification of the problem. Moreover, I will show the uniqueness theorem concerning viscosity solutions for multipeakon Hamiltonians. Finally, I will show recent results concerning existence of solutions in the case of two-peakon. The talk is based on works in progress with Hiroshi Wakui (Wrocław) and Andrzej Święch (Georgia Tech).