Global existence and boundedness for the 4D fully parabolic chemotaxis system with indirect signal production

This talk deals with the Cauchy problem for the 4-dimensional fully parabolic chemotaxis system with indirect signal production, and aims to discuss initial conditions for solutions to exist globally in time or to be bounded uniformly in time. To begin with, we present that solutions with initial mass below $(8\pi)^2$ exist globally in time. The value $(8\pi)^2$ is known as the 4-dimensional threshold value for the initial mass determining whether the blowup of solutions occurs or not. Nevertheless, the proof of global solutions on the whole space $\mathbb{R}^4$ provides only time-dependent estimates unlike the one on a bounded domain, due to the unboundedness of $\mathbb{R}^4$. In order to establish time-independent estimates, we introduce a suitably designed energy functional, and take a look at a condition on the initial mass ensuring the boundedness of solutions. This talk is based on a joint work with Philippe Lauren\c{c}ot (CNRS \& Universit\'{e} Savoie Mont Blanc).

Pewne własności funkcji harmonicznych na grupach Heisenberga

Grupy Heisenberga są szczególnym przypadkiem rozmaitości subriemannowskich. Funkcje harmoniczne określone na nich mają wiele własności takich jak funkcje harmoniczne w przestrzeni Euklidesowej. W referacie przedstawię ich związek z miarami Carlesona, a także własności funkcji niestycznej maksymalnej i square function, które są powiązane z zachowaniem funkcji harmonicznej.

O analogu twierdzenia Albertiego dla martyngałów

Podczas referatu omówię rezultat związany z twierdzeniem Albertiego dotyczącym własności "rank-one" gradientów funkcji o wahaniu ograniczonym. Udowodnię jego dyskretny analog dla martyngałów z m-regularną filtracją, który można również traktować jako ogólny opis rozkładu biegunowego miar wektorowych na brzegu m-regularnego, nieskończonego drzewa. Praca wspólna z D. Stolyarovem i M. Wojciechowskim.

Równania z symetriami - przykłady, wyzwania i narzędzia

Podczas referatu zobaczymy dlaczego w problemach z symetriami nie działa wiele klasycznych narzędzi. Zaprezentowane zostanie twierdzenie Lapunowa o centrum dla równań z symetriami, które w kilku przykładach (głównie zagadnienia N-ciał) pozwoli dowodzić istnienia rozwiązań okresowych.

A mixed-dispersion equation in dimension 4: results and open problems

I will present results concerning the existence of unbounded sequences of solutions, obtained via variational methods, to an elliptic mixed-dispersion equation in dimension 4, in the so-called positive-mass and zero-mass cases. Specific symmetries are used to recover compactness and, in the latter case, even to ensure the energy functional is continuously differentiable. I will also present an open problem about the zero-mass case.

Asymptotyka rozwiązań układu równań termosprężystości-kontynuacja

W trakcie referatu zostaną pokazane fizyczne własności rozwiązań układu równań termosprężystości, w szczegóności zostanie wykorzystana druga zasada termodynamiki.

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia stacjonarnego przepływu cieczy elektroreologicznych z warunkiem brzegowym typu tarcie

W referacie zostaną przedstawione wyniki badania stacjonarnego przepływu cieczy elektroreologicznych z uwzględnieniem tarcia. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania badanego problemu uzyskano za pomocą rezultatów o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania inkluzji operatorowych typu subróżniczkowego i nierówności hemiwariacyjnych w przestrzeniach Sobolewa ze zmiennym wykładnikiem.

Asymptotyka rozwiązań układu równań termosprężystości-kontynuacja

W trakcie referatu zostaną pokazane fizyczne własności rozwiązań układu równań termosprężystości, w szczegóności zostanie wykorzystana druga zasada termodynamiki.

Asymptotyka rozwiązań układu równań termosprężystości

W trakcie referatu zostaną pokazane fizyczne własności rozwiązań układu równań termosprężystości, w szczegóności zostanie wykorzystana druga zasada termodynamiki.

Zanik rozwiązań niejednorodnego równania falowego

Na referacie podzielę się pewną prostą obserwacją dotyczącą rozwiązań niejednorodnego równania falowego. Okaże się, że zanik takich rozwiązań jest równoważny pewnemu warunkowi wiążącemu warunki początkowe z prawą stroną równania.

Nowe uogólnienie pojęcia jądra reprodukującego na przestrzenie Banacha oraz zastosowanie do teorii równań różniczkowych cząstkowych

Wiadome jest, że przestrzeń Hilberta V funkcji określonych na dziedzinie D posiada jądro reprodukujące wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia tzw. własność minimalnej normy, tzn. gdy w każdym zbiorze V_x = {f \in V | f(x)=1}, o ile niepusty, jest dokładnie jeden element o minimalnej normie. Wiadomo też, że istnieje wzór pozwalający zapisać jądro reprodukujące za pomocą tych elementów o minimalnej normie i odwrotnie. Mając to na uwadze, powiemy, że przestrzeń Banacha funkcji jest przestrzenią z jądrem reprodukującym, jeśli posiada własność minimalnej normy oraz zdefiniujemy jądro reprodukujące, wykorzystując tę zależność. Pokażemy, że większość podstawowych własności tak określonego jądra reprodukującego w przestrzeni Banacha jest taka sama jak dla jądra w przestrzeni Hilberta. Ważnym wyjątkiem będzie równość K(z,w) = \overline{K(w,z)}, prawdziwa dla jąder w przestrzeni Hilberta, a w ogólności nieprawdziwa w przestrzeni Banacha bez dodatkowego założenia, że K(z,w) i K(w,z) są różne od 0. W dalszej części referatu podane zostaną przykłady przestrzeni Banacha z jądrem reprodukującym. Okaże się, że m. in. przestrzenie funkcji całkowalnych w p-tej potędze i holomorficznych lub harmonicznych oraz niektóre przestrzenie Banacha funkcji z normą Sobolewa mają własność minimalnej normy. Co więcej, można pokazać, że te unikalne elementy o minimalnej normie zależą w sposób ciągły od deformacji normy oraz od rosnącego ciągu obszarów. W szczególności zatem zamiast rozważać warunek początkowy lub brzegowy dla równania różniczkowego, możemy rozważać rozwiązanie o minimalnej normie spośród tych, które w jakimś ustalonym punkcie przyjmują zadaną wartość, by mieć jednoznaczność rozwiązania.

Linear and nonlinear instability of 3D vortex columns

We will discuss stability properties of steady solutions to the $3$D incompressible Euler equations in the form of vortex columns, $u=V(r)e_{\theta } + W(r) e_z$, for a family of profiles $V,W$. We will discuss a construction of countably many linearly unstable modes, which are not of neutral limiting type, but instead they exhibit a multiscale behaviour which can be captured using a new functional framework of Lyapunov-Schmidt reduction and gluing procedure. The modes are of the form of ``ring modes'' that are localized near some $r_0$ (in cylindrical coordinates). We will also discuss how each of these ring modes gives rise to nonlinear instability. This is joint work with D. Albritton.

Regularity of minimizing p-harmonic maps into spheres

Regularity of minimizing p-harmonic maps – i.e., minimizers of the Dirichlet p-energy among maps between two given manifolds – is known to depend on the topology of the target manifold. In particular, the case of maps into spheres has been studied intensively, but still some of the most basic questions concerning maps from B3 into S3 remain open. Minimizing maps in this context were shown to be regular when p=2 or p≥3, and recently also when 2

Analiza stacjonarnych przepływów nienewtonowskich płynów z warunkami brzegowymi tarcia typu przeciekanie

W referacie zostaną przedstawione wyniki badania stacjonarnych równań Naviera-Stokesa w ograniczonym obszarze modelującym przepływ lepkich i nieściśliwych nienewtonowskich płynów o niewielomianowym wzroście uwzględniającym warunki brzegowe tarcia typu przeciekanie. Słabe sformułowanie problemu przepływu płynów ma postać nierówności hemiwariacyjnej związanej niewypukłym i lokalnie lipschitzowskim superpotencjałem. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania ww. problemu zostanie pokazana za pomocą istnienia i jednoznaczności rozwiązania abstrakcyjnych inkluzji subróżniczkowych i nierówności hemiwariacyjnych w przestrzeniach refleksyjnych Orlicza-Sobolewa.

Zwartość zanurzeń przestrzeni Hajłasza-Biesowa i Hajłasza-Triebla-Lizorkina

Zwartość w mieszanych przestrzeniach Lebesgue'a

Wystąpienie dotyczyć będzie kwestii charakteryzacji zbiorów prezwartych w mieszanych przestrzeniach Lebesgue'a. Przestrzenie te zostały wprowadzone w pracy Almeidy i Hästö w celu zdefiniowania przestrzeni Biesowa ze zmiennymi wykładnikami (o których również opowiem podczas referatu). Przedstawię znacznie ogólniejsze wyniki w stosunku do mojego wystąpienia na seminarium w 2021 roku. Zaprezentuję wersję twierdzenia Riesza-Kołmogorowa w mieszanych przestrzeniach Lebesgue'a dla szerszej klasy wykładników niż poprzednio. Co więcej, przedstawię szkic dowodów dwóch twierdzeń typu Sudakowa - dla przestrzeni Lebesgue'a ze zmiennym wykładnikiem oraz mieszanych przestrzeni Lebesgue'a. Twierdzenia te umożliwiają podanie bardziej zwięzłej charakteryzacji zbiorów prezwartych (tj. w terminach mniejszej liczby warunków równoważnych). W dowodach wykorzystamy między innymi pewien lemat przekątniowy oraz twierdzenie Riesza-Schaudera o widmie operatora zwartego. Przedstawione wyniki zostały uzyskane podczas wspólnej pracy z Przemysławem Górką.

A double phase problem involving the 1-Laplacian