05 i 12.03.2025 (Blackboard)
Jacek Wesołowski, Politechnika Warszawska
"Asymptotyka losowych ścieżek Motzkina i jej związki z KPZ"
Abstract: Przedstawię twierdzenie asymptotyczne dla początkowego i finalnego odcinka losowych ścieżek Motzkina, otrzymując w granicy niezależne łańcuchy Markowa \(X\) i \(Y\). Miara na ścieżkach Motzkina jest realizowana za pomocą iloczynu wag krawędziowych \(a=(a_n),\, b=(b_n),\, c=(c_n)\) oraz brzegowych \((\alpha_n),\, (\beta_n)\). Istotnym elementem dowodu jest nowy "ansatz macierzowy" oraz powiązanie z teorią wielomianów ortogonalnych - poprzez ciągi \(a,\, b\) i \(c\).
Następnie rozważony będzie ważny przypadek, w którym wagi krawędziowe są współczynnikami rekursji trójczłonowej dla wielomianów Al-Salam-Chihara z parametrem \(q\). Okazuje się, że w tym przypadku i odpowiednich reżimach asymptotycznych, łańcuch Markowa \(X\) jest zbieżny do nie-brownowskiej części miary stacjonarnej postulowanego tzw. punktu stałego KPZ na półprostej lub do miary stacjonarnej równania KPZ na półprostej. Problemy techniczne prowadzą do uogólniania wzorów dotyczących nieskończonych współczynników \(q\)-Pochhammera z jednego z "notebooków" Ramanujana.
Są to wyniki z pracy wspólnej z W. Brycem (Univ. of Cinicnnati) oraz A. Kuznetsowem (York Univ., Toronto) - praca jest dostępna na arXiv; wkrótce powinna ukazać się drukiem w IMRN.
Jacek Wesołowski, Politechnika Warszawska
"Asymptotyka losowych ścieżek Motzkina i jej związki z KPZ"
Abstract: Przedstawię twierdzenie asymptotyczne dla początkowego i finalnego odcinka losowych ścieżek Motzkina, otrzymując w granicy niezależne łańcuchy Markowa \(X\) i \(Y\). Miara na ścieżkach Motzkina jest realizowana za pomocą iloczynu wag krawędziowych \(a=(a_n),\, b=(b_n),\, c=(c_n)\) oraz brzegowych \((\alpha_n),\, (\beta_n)\). Istotnym elementem dowodu jest nowy "ansatz macierzowy" oraz powiązanie z teorią wielomianów ortogonalnych - poprzez ciągi \(a,\, b\) i \(c\).
Następnie rozważony będzie ważny przypadek, w którym wagi krawędziowe są współczynnikami rekursji trójczłonowej dla wielomianów Al-Salam-Chihara z parametrem \(q\). Okazuje się, że w tym przypadku i odpowiednich reżimach asymptotycznych, łańcuch Markowa \(X\) jest zbieżny do nie-brownowskiej części miary stacjonarnej postulowanego tzw. punktu stałego KPZ na półprostej lub do miary stacjonarnej równania KPZ na półprostej. Problemy techniczne prowadzą do uogólniania wzorów dotyczących nieskończonych współczynników \(q\)-Pochhammera z jednego z "notebooków" Ramanujana.
Są to wyniki z pracy wspólnej z W. Brycem (Univ. of Cinicnnati) oraz A. Kuznetsowem (York Univ., Toronto) - praca jest dostępna na arXiv; wkrótce powinna ukazać się drukiem w IMRN.
Everyone is cordially invited!
B. Kołodziejek, W. Matysiak, K. Szpojankowski, J. Wesołowski