Spis rzeczy

Subsections

• Drgania swobodne struny zamocowanej
• Drgania wymuszone struny zamocowanej
• Przypadek ogólny

Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej

Rozważać będziemy następujące zagadnienie.
 
 

Znaleźć funkcję $u\left( x,t\right)$ spełniającą równanie

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}<tex2html_comment_mark>332 u}{\partial x^{2}}=f(x,t) x\in\left[ 0;l\right] l>0 t>0%%$$ (3.1)

wraz z warunkami brzegowymi

$$u\left( 0,t\right) =\alpha\left( t\right) u\left( l,t\right) =\beta\left( t\right) t>0%%$$ (3.2)

i warunkami początkowymi

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) u_{t}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) x\in\left[ 0;l\right] %%$$ (3.3)

Zakładamy, że $\varphi$ jest klasy $C^{2}$, $\psi$, $\alpha$, $\beta$ są klasy $C^{1}$. Zakładamy ponadto, że spełnione są tzw. warunki zgodności, tzn. $\varphi\left( 0\right) =\alpha\left( 0\right)$, $\varphi\left( l\right) =\beta\left( 0\right)$, $\psi\left( 0\right)=\alpha^{\prime}\left( 0\right)$, $\psi\left( l\right) =\beta^{\prime}\left( 0\right)$.

Zagadnienie (3.1)-(3.3) rozwiążemy w kilku etapach, stosując tzw. metodę Fouriera zwaną także metodą separacji zmiennych.

Drgania swobodne struny zamocowanej

Załóżmy, że struna jest zamocowana w punktach końcowych, tzn. spełnione są jednorodne warunki brzegowe postaci

$$u(0,t)=u(l,t)=0 t>0 \alpha\equiv0 \beta \equiv0%%$$ (3.4)

oraz $f\equiv0$ (brak siły zewnętrznej wymuszającej ruch).

Najpierw rozwiążemy pewne zagadnienie pomocnicze.
 
 

Znaleźć rozwiązanie równania (3.1) nie równe tożsamościowo zeru, spełniające warunki brzegowe (3.4) i przedstawialne w postaci$u\left( x,t\right) =X\left( x\right) T\left(t\right)$, gdzie funkcje$X$ i $T$zależą tylko od jednej zmiennej.

Podstawiając $u\left( x,t\right) =X\left( x\right) T\left(t\right)$ do równania (3.1), gdzie $f\equiv0$, otrzymujemy

$$\frac{X^{\prime\prime}\left( x\right) }{X\left( x\right) }=\frac{......ml_comment_mark>337 }\frac{T^{\prime\prime}\left( t\right) }{T\left( t\right) }$$ (3.5)

Ponieważ równość (3.5) zachodzić musi dla wszystkich$x$ i $t$ z rozważanego zakresu, więc obie strony tej równości muszą być stałe. Oznaczając tę stałą przez $-\lambda$ dostajemy równość

$$\frac{X^{\prime\prime}\left( x\right) }{X\left( x\right) }=\frac{......\frac{T^{\prime\prime}\left( t\right) }{T\left( t\right) }=-\lambda\text{,}%%$$ która prowadzi do układu równań

$$X^{\prime\prime}\left( x\right) +\lambda X\left( x\right) =0$$ (3.6)

$$T^{\prime\prime}\left( t\right) +c^{2}\lambda T\left( t\right) =0%%$$ (3.7)

Z warunków brzegowych (3.4) wynika, że $X\left( 0\right)=X\left( l\right) =0$ (w przeciwnym razie $T\left( t\right) \equiv0$ i$~u\equiv0$).
 
 

Dla funkcji $X\left( x\right)$ otrzymaliśmy tzw. zagadnienie Sturma-Liouville'a polegające na wyznaczeniu takich wartości$\lambda$, zwanych wartościami własnymi, przy których istnieją niezerowe rozwiązania równania (3.6), zwane funkcjami własnymi, spełniające warunki $X\left( 0\right)=X\left( l\right) =0$.
 
 

W celu wyznaczenia wartości własnych zagadnienia należy rozważyć trzy następujące przypadki.

$1^{\circ}$ $\lambda<0$.

Wówczas rozwiązaniem równania (3.6) jest funkcja postaci $X\left( \lambda\right) =C_{1}%%e^{x\sqrt{-\lambda}}+C_{2}e^{-x\sqrt{-\lambda}}$. Z warunków $X\left( 0\right)=X\left( l\right) =0$ wynika, że $C_{1}=C_{2}=0$, zatem$X\left( x\right) \equiv0$ i $u\equiv0$.

$2^{\circ}$ $\lambda=0$.

Wówczas $X\left( x\right) =ax+b$ i warunki $X\left( 0\right)=X\left( l\right) =0$ znów implikują, że $a=b=0$, zatem $X\left( x\right) \equiv0$ i $u\equiv0$.

$3^{\circ}$ $\lambda>0$.

Teraz $X\left( x\right) =C_{1}\cosx\sqrt{\lambda}+C_{2}\sin x\sqrt{\lambda}$ i dla

$$\lambda_{n}=\left( \frac{\pi n}{l}\right) ^{2} n=1,2,3,\ldots%%$$ (3.8)

istnieją niezerowe funkcje

$$X_{n}\left( x\right) =\sin\frac{\pi n}{l}x%%$$ (3.9)

będące rozwiązaniami równania (3.6) z warunkami$X\left( 0\right)=X\left( l\right) =0$. Liczby $\lambda_{n}$ są wartościami własnymi rozważanego zagadnienia.

Z równania (3.7) dla $\lambda=\lambda_{n}$ otrzymujemy, że

$$T_{n}=A_{n}\cos\frac{\pi nc}{l}t+B_{n}\sin\frac{\pi nc}{l}t$$ (3.10)

W takim razie rozwiązaniem zagadnienia pomocniczego (3.1), (3.4) są funkcje

$$u_{n}\left( x,t\right) =\left( A_{n}\cos\frac{\pi nc}{l}t+B_{n}\sin \frac{\pi nc}{l}t\right) \sin\frac{\pi n}{l}x %%$$ (3.11)

Aby skonstruować rozwiązanie spełniające także zadane warunki początkowe (3.3) tworzymy szereg

$$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+......{n}\cos\frac{\pi nc}{l}t+B_{n}\sin\frac{\pi nc}{l}t\right) \sin\frac{\pi n}{l}x %%$$ (3.12)

którego współczynniki, zgodnie z teorią szeregów Fouriera, określone są wzorami

$$A_{n}=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}\varphi(s)\cos\frac{\pi ns}{l}<tex2html_comment_mark>350 sds, B_{n}=\frac{2}{n\pi c}\int\limits_{0}^{l}\psi(s)\sin\frac{\pi ns}{l}ds.%%$$ (3.13)

T w i e r d z e n i e

Jeżeli $\varphi$ jest klasy $C^{2}$,$\varphi\left( 0\right)=\varphi\left( l\right) =0$, $\psi$ jest klasy $C^{1}$, $\psi\left(0\right) =\psi\left( l\right) =0$, to szereg (3.12) ze współczynnikami określonymi wzorami (3.13) jest rozwiązaniem zagadnienia (3.1) dla $f\equiv0$, z warunkami (3.3)-(3.4).

P r z y k ł a d  1

Rozwiązać omówione powyżej zagadnienie dla $l=2,$$c=1,$$\varphi(x)=x(2-x),\ \psi(x)=0$.

Ze wzorów (3.13) wynika, że

$$A_{n}=\frac{16}{n^{3}\pi^{3}}\left[ 1-(-1)^{n}\right] ,$$$$%%B_{n}=0$$,$$%%$$ tak więc rozwiązanie określone jest wzorem $$u(x,t)=\frac{16}{\pi^{3}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\left[1-(-1)^{n}\right] }{n^{3}}\sin\pi\frac{nx}{2}\cos\pi\frac{nt}{2}.$$ Funkcja $u(x,t)$ jest funkcją okresową w czasie, o okresie $4$. Poniższy rysunek przedstawia kształt początkowy struny. Struna wyprostowuje się w chwilach $t=1,3,5,...$
Animacja w formacie avi (140 KB)

Animowany gif (6 KB)

P r z y k ł a d  2

Rozwiązać omówione powyżej zagadnienie dla $l=2,$$c=1$,$\varphi(x)=x^{2}(2-x),$$\psi(x)=0$.

Z podanych wzorów wynika, że

$$A_{n}=\frac{32}{n^{3}\pi^{3}}\left[ 2(-1)^{n+1}-1\right] ,$$$$B_{n}=0$$ tak więc rozwiązanie określone jest wzorem $$u(x,t)=\frac{32}{\pi^{3}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\left[2(-1)^{n+1}-1\right] }{n^{3}}\sin\pi\frac{nx}{2}\cos\pi\frac{nt}{2}.$$ Funkcja $u(x,t)$ jest funkcją okresową w czasie, o okresie $4$. Poniższy rysunek przedstawia kształt początkowy struny. Animacja w formacie avi (128 KB)

Animowany gif  (7 KB)
 

Drgania wymuszone struny zamocowanej

Rozważmy teraz zagadnienie (3.1), (3.3), (3.4) polegające na wyznaczeniu funkcji $u\left( x,t\right)$ spełniającej równanie (3.1), z dowolnymi warunkami początkowymi i jednorodnymi warunkami brzegowymi. Rozwiązanie tego zagadnienia może być zapisane w postaci sumy dwóch funkcji, z których jedna jest rozwiązaniem równania jednorodnego ($f\equiv0$) z dowolnymi warunkami początkowymi (zagadnienie to zostało omówione w poprzednim punkcie), zaś druga funkcja jest rozwiązaniem równania niejednorodnego ($f\not \equiv0$), ale z jednorodnymi warunkami początkowymi ($\varphi\equiv0$, $\psi\equiv0$) i jednorodnymi warunkami brzegowymi.

Wystarczy zatem wyznaczyć funkcję $u$ spełniającą równanie

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}<tex2html_comment_mark>358 u}{\partial x^{2}}=f(x,t) x\in\left[ 0;l\right] l>0 t>0%%$$ (3.14)

z warunkami

$$u\left( x,0\right) =0 u_{t}\left( x,0\right) =0 <tex2html_comment_mark>360 x\in\left[ 0;l\right]$$ (3.15)

$$u(0,t) =u(l,t)=0 t>0 %%$$ (3.16)

W tym celu załóżmy, że funkcja dana $f\left( x,t\right)$ dla$x\in\left[ 0;l\right]$ może być zapisana w postaci sinusowego szeregu Fouriera względem zmiennej $x$

$$f\left( x,t\right) =<tex2html_comment_mark>363 {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} f_{n}\left( t\right) \sin\frac{\pi n}{l}x %%$$ (3.17)

gdzie

$$f_{n}\left( t\right) =\frac{2}{l}%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{l}}f\left( s,t\right) \sin\frac{\pi n}{l}sds$$ dla $$n=1,2,\ldots$$.$$%%$$ Rozwiązania zagadnienia (3.14)-(3.16) poszukujemy w postaci

$$u\left( x,t\right) =<tex2html_comment_mark>373 {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} T_{n}\left( t\right) \sin\frac{\pi n}{l}x %%$$ (3.18)

gdzie $T_{n}\left( t\right)$ są niewiadomymi funkcjami. Zakładając, że dozwolone jest różniczkowanie szeregu (3.18) wyraz po wyrazie, z równania (3.14) i przedstawienia (3.17) otrzymujemy

$$%%{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}\left( T_{n}^{\prim......tyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}c^{2}f_{n}\left( t\right) \sin\frac{\pi n}{l}x$$,$$%%$$ a zatem

$$T_{n}^{\prime\prime}\left( t\right) +\omega_{n}^{2}T_{n}\left( t\right) =c^{2}f_{n}\left( t\right) \omega_{n}=\frac{\pi nc}<tex2html_comment_mark>387 {l} %%$$ (3.19)

Z warunków (3.15) wynika ponadto, że

$$T_{n}\left( 0\right) =T_{n}^{\prime}\left( 0\right) =0 n=1,2,\ldots %%$$ (3.20)

Rozwiązanie zagadnienia (3.19)-(3.20) można przedstawić w postaci

$$T_{n}\left( t\right) =\frac{2c}{\pi n}<tex2html_comment_mark>390 ......ft( s,r\right) \sin\frac{\pi n}{l}sds\right] \sin\omega_{n}\left( t-r\right) dr n=1,2,\ldots %%$$ (3.21)

 

T w i e r d z e n i e

Jeżeli funkcja $f$ jest klasy $C^{2}$ oraz $f\left( 0,t\right) =f\left(l,t\right) =0$ dla każdego $t\geq0$, to szereg (3.18) ze współczynnikami określonymi wzorami (3.21) jest rozwiązaniem zagadnienia (3.14)-(3.16).

Przypadek ogólny

Rozważmy teraz ogólne zagadnienie (3.1)-(3.3). W celu rozwiązania tego zagadnienia wprowadzamy funkcję pomocniczą

$$w\left( x,t\right) =\alpha\left( t\right) +\left[ \beta\left( t\right) -\alpha\left( t\right) \right] \frac{x}{l}%%$$ (3.22)

i poszukujemy rozwiązania zagadnienia w postaci $u\left( x,t\right)=w\left( x,t\right) +v\left( x,t\right)$.

Ponieważ ze wzoru (3.22) wynika, że $w\left( 0,t\right)=\alpha\left( t\right)$ i $w\left( l,t\right) =\beta\left( t\right)$, więc $v\left( 0,t\right) =v\left( l,t\right) =0$, tzn. funkcja$v\left( x,t\right)$ jest rozwiązaniem pewnego zagadnienia postaci (3.1), (3.3), (3.4) z jednorodnymi warunkami brzegowymi. Zagadnienie wyznaczenia takiej funkcji$v\left( x,t\right)$ zostało omówione w poprzednim punkcie.