Spis rzeczy

Subsections

• Membrana prostokątna
• Membrana kołowa
• Membrana nieograniczona

Równanie drgań membrany swobodnej

Rozważmy jednorodne równanie drgań płaskiej membrany

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0 \Delta u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}%%$$ (3.23)

rozważane dla $\left( x,y\right) \in D\subset\mathbb{R}^{2}$, $t>0$. Załóżmy, że spełnione są warunki początkowe

$$u\left( x,y,0\right) =\varphi\left( x,y\right) u_{t}\left( x,y,0\right) =\psi\left( x,y\right) \left( x,y\right) \in D%%$$ (3.24)

oraz, że $\varphi$ jest klasy $C^{2}$, $\psi$ jest klasy $C^{1}$.

Membrana prostokątna

Załóżmy teraz, że $D$ jest prostokątem, $D=\left(0;A\right) \times\left( 0;B\right)$ oraz, że membrana jest zamocowana na brzegu, tzn.

$$u\left( 0,y,t\right) =u\left( A,y,t\right) =u\left( x,0,t\right) =u\left( x,B,t\right) =0 t\geq0 %%$$ (3.25)

W celu rozwiązania tego zagadnienia postępujemy analogicznie jak w przypadku drgań swobodnych struny zamocowanej. Stosując metodę separacji zmiennych w postaci

$$u\left( x,y,t\right) =X\left( x\right) Y\left( y\right) T\left(t\right)$$,$$%%$$ otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie zagadnienia (3.23)-(3.25) w postaci sumy szeregu podwójnego

$$u\left( x,y,t\right) =<tex2html_comment_mark>407 {\displaystyle\s......frac{\pi n}{B}y\left( a_{k,n}\cos\omega _{k,n}t+b_{k,n}\sin\omega_{k,n}t\right) %%$$ (3.26)

gdzie

$$\omega_{k,n}=\pi\sqrt{\frac{k^{2}}{A^{2}}+\frac{n^{2}}{B^{2}}}$$ dla$$k,n=1,2,\ldots$$,$$%%$$ o współczynnikach $a_{k,n}$ i $b_{k,n}$ określonych wzorami

$$=\frac{4}{AB}<tex2html_comment_mark>413 {\displaystyle\int\limits......,y\right) \sin\frac{\pi k}{A}x\sin\frac{\pi n}{B}<tex2html_comment_mark>421 ydy$$ (3.27)

$$=\frac{4}{AB\omega_{k,n}c}<tex2html_comment_mark>422 {\displaysty......imits_{0}^{B}} \psi\left( x,y\right) \sin\frac{\pi k}{A}x\sin\frac{\pi n}{B}ydy$$ (3.28)

P r z y k ł a d

Rozwiązać zagadnienie drgań membrany prostokątnej dla $A=B=1,$$c=1,$

$\varphi(x,y)=(x-x^{2})(y-y^{2}),$$\psi(x,y)=0$.
 
 

Zgodnie ze wzorami (3.27), (3.28), całkując przez części wyznaczamy współczynniki $a_{k,n}$ i $b_{k,n}$

$$a_{k,n}=16\frac{\left( 1+(-1)^{k+1}\right) \left( 1+(-1)^{n+1}\right)}{k^{3}n^{3}\pi^{6}},\text{ \ }b_{k,n}=0,$$ a zatem rozwiązanie zagadnienia jest postaci $$u(x,y,t)=\frac{16}{\pi^{6}}\sum\limits_{k,n=1}^{+\infty}\frac{1+(......{n+1}}{n^{3}}\sin k\pi x\sin n\pi y\cos\left( t\pi\sqrt{k^{2}+n^{2}}\right) .$$ Poniższy rysunek przedstawia wygląd membrany i kształt jej przekroju wzdłuż przekątnej kwadratu $D$ w chwili $t=0$. Kolejny rysunek przedstawia drgania punktu środkowego ($x=y=0,5$) membrany jako funkcję zmiennej$t$. Animacja w formacie avi (188 KB)

Animowany gif (29 KB)

Plan warstwicowy w formacie avi (309 KB)

Plan warstwicowy - animowany gif (164 KB)
 

Membrana kołowa

Załóżmy teraz, że $D$ jest kołem, $D=\left\{ \left(x,y\right) :x^{2}+y^{2}<a^{2}\right\}$ oraz, że membrana jest zamocowana na brzegu, tzn.

$$u(x,y,t)=0 x^{2}+y^{2}=a^{2}, t\geq0 %%$$ (3.29)

Załóżmy, że funkcje $\varphi$ i $\psi$ opisujące warunki początkowe (3.24) spełniają zależność

$$\varphi(x,y)=\varphi(r), \psi(x,y)=\psi(r), r=\sqrt {x^{2}+y^{2}} %%$$ (3.30)

tzn. warunki te są kołowo symetryczne. O funkcjach danych załóżmy, że $\varphi$ jest klasy $C^{2},$ pochodna $\varphi^{\prime\prime\prime}$ istnieje i jest przedziałami ciągła, $\varphi(a)=0$,$\psi\mathbb{\ }$jest klasy $C^{1}$, pochodna $\psi^{\prime\prime}$istnieje i jest przedziałami ciągła, $\psi(a)=0.$
 
 

Z symetrii równania i warunków wynika, że rozwiązanie $u$ może być poszukiwane w postaci $u=u(r,t).$ Przechodząc do współrzędnych biegunowych $\left( r,\theta\right)$, przekształcamy wyjściowe równanie do postaci (przyjmujemy, że $u$ nie zależy od $\theta$)

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=0.%%$$ (3.31)

Stosując metodę Fouriera (separacji zmiennych) dla $u(r,t)=R(r)T(t)$ otrzymujemy dwa równania

$$\frac{R^{\prime\prime}(r)+\frac{1}{r}R^{\prime}(r)}{R(r)}=\frac{T^{\prime\prime}(t)}{c^{2}T(t)}=-\lambda=const.$$ Z warunków brzegowych wynika, że stały parametr może przyjmować wartości $$\lambda=\lambda_{n}=\frac{x_{n}^{2}}{a^{2}},$$ dla $$n=1,2,...$$ gdzie $(x_{n})$ jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessela $J_{0}.$

Funkcje Bessela $J_{k}$ określone są wzorem

$$J_{k}\left( z\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty......eft( -1\right) ^{n}}{n!\left( n+k\right) !}\left( \frac{z}%%{2}\right) ^{2n+k}$$,$$%%$$ a ich zera $\left( x_{n}\right)$ są stabelaryzowane. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $J_{0}$.

W takim razie funkcja

$$u_{n}(x,t)=J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) \left[ A_{n}\cos\left( x_{n}\frac{ct}{a}\right) +B_{n}\sin\left( x_{n}\frac{ct}{a}\right) \right] n=1,2,...%%$$ (3.32)

i dowolnych stałych $A_{n}$, $B_{n}$ jest rozwiązaniem rozważanego równania (3.31) spełniającym jednocześnie warunek brzegowy (3.29).

Pełnym rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym także warunki początkowe (3.30), jest funkcja $u(r,t)$ określona jako suma szeregu

$$u(r,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\ri......( x_{n}\frac{ct}{a}\right) +B_{n}\sin\left( x_{n}\frac{ct}{a}\right) \right]%%$$ (3.33)

gdzie stałe$A_{n}$ i $B_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów

$$A_{n}=\frac{2}{a^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\varphi (r)J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) dr, B_{n}=\frac{2}<tex2html_comment_mark>446 {ax_{n}cJ_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\psi(r)J_{0}\left( x_{n}\frac {r}{a}\right) dr%%$$ (3.34)

dla $n=1,2,...$, $J_{1}\left( x\right) =-J_{0}^{\prime}\left(x\right)$.

P r z y k ł a d

Rozwiązać zagadnienie drgań membrany kołowej dla $a=1,$$\varphi(r)=1-r^{2},$$\psi(r)=0.$
 
 

Z danych zadania wynika, że

$$B_{n}=0,$$$$A_{n}=\frac{2}{J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}%%^{1}r(1-r^{2})J_{0}(x_{n}r)dr$$ dla $$n=1,2,...$$$$%%$$ Korzystając z własności funkcji Bessela $$\frac{d}{dx}\left[ x^{n}J_{n}(x)\right] =x^{n}J_{n-1}(x)$$ i wzoru rekurencyjnego $$J_{k-1}\left( x\right) +J_{k+1}\left( x\right) =\frac{2k}{x}J_{k}\left(x\right)$$ oraz stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy ostatecznie $$A_{n}=\frac{4J_{2}(x_{n})}{x_{n}^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}=\frac{8}{x_{n}^{3}%%J_{1}(x_{n})}\text{,}%%$$ a zatem rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem $$u(r,t)=8\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x_{n}^{3}J_{1}(x_{n})}J_{0}%%(x_{n}r)\cos(x_{n}ct).$$ Poniższy rysunek przedstawia wygląd memebrany i kształt jej przekroju osiowego w chwili $t=0$.

Kolejny rysunek przedstawia drgania punktu położonego na osi symetrii membrany jako funkcję zmiennej $t$.

Animacja w formacie avi (197 KB)

Animowany gif (32 KB)

Plan warstwicowy w formacie avi (285 KB)

Plan warstwicowy - animowany gif (175 KB)
 
 

Membrana nieograniczona

Załóżmy teraz, że rozważamy równanie drgań membrany (3.23) dla $\left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}$. Oznacza to, że dane są tylko warunki początkowe opisujące początkowy kształ t membrany i prędkość początkową drgań (3.24), nie ma zaś warunków brzegowych.

Następujące twierdzenie określa warunki dostateczne dla istnienia rozwiązania i podaje jego postać (tzw. wzór Poissona).
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeżeli funkcje $\varphi$ i $\psi$ są odpowiednio klasy $C^{3}$ i$C^{2}$, to funkcja $u$ postaci

$$u(x,y,t)=\frac{1}{2\pi c}\iint\limits_{K_{ct}}\frac{\psi(p,q)dpdq......_{ct}}\frac{\varphi(p,q)dpdq}{\sqrt{c^{2}%%t^{2}-(p-x)^{2}-(q-y)^{2}}}\right]$$ gdzie $K_{ct}$ jest kołem o środku w punkcie $(x,y)$ i promieniu $ct$, jest rozwiązaniem rozważanego zagadnienia.

P r z y k ł a d

Rozwiązać zagadnienie drgań membrany nieograniczonej dla danych:

$$c=1,$$$$\varphi(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}},$$$$\psi(x,y)=0.$$ Stosując we wzorze Poissona zamianę zmiennych w całce podwójnej $$p=x+r\cos\alpha$$ , $$q=y+r\sin\alpha$$ otrzymujemy wzór na funkcję $u$ w postaci

$$u(x,y,t) =\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{1}{2\pi}\int \limits_{0}......phi(x+r\cos\alpha,y+r\sin\alpha )\frac{r}{\sqrt{t^{2}-r^{2}}}drd\alpha\right] =$$

$$=\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^......r^{2}+2xr\cos\alpha+2yr\sin\alpha }\frac{r}{\sqrt{t^{2}-r^{2}}}drd\alpha\right]$$

Poniższy rysunek przedstawia wygląd membrany w chwili $t=0$.

Na następnym rysunku widoczne są kształty przekrojów osiowych membrany dla $t=0$, $t=0,5$, $t=0,6$, $t=1$, $t=3$, $t=6$.

Kolejny rysunek przedstawia drgania punktu położonego na osi symetrii membrany jako funkcję zmiennej $t$.

Animacja w formacie avi (268 KB)

Animowany gif (140 KB)

Plan warstwicowy w formacie avi (338 KB)

Plan warstwicowy - animowany gif (204 KB)