Spis rzeczy

Subsections

• Uogólniona metoda Fouriera
• Rozwiązanie podstawowe, całka Poissona
• Przykłady

Zagadnienie Cauchy'ego dla pręta nieograniczonego

Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja $u=u(x,t)$, spełniająca jednorodne równanie przewodnictwa cieplnego

$$u_{t}=a^{2}u_{xx} x\in\mathbb{R}, t>0.%%$$ (4.1)

Funkcja $u$ przedstawia temperaturę pręta w punkcie $x$, w chwili czasu $t$.

Zakładamy, że dany jest początkowy rozkład temperatury

$$u(x,0)=\varphi(x), x\in\mathbb{R} %%$$ (4.2)

gdzie $\varphi$ jest funkcja daną.

Zagadnienie polegajace na znalezieniu rozwiązania równania (4.1) spełniającego warunek (4.2) nazywamy zagadnieniem Cauchy'ego (zagadnieniem początkowym) dla równania przewodnictwa.

Uogólniona metoda Fouriera

Stosując metodę rozdzielenia zmiennych $u(x,t)=X(x)T(t)$ do równania (4.1) otrzymujemy równość $$\frac{T^{\prime\prime}(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}%%{X(x)}=-\lambda^{2}=const.$$ Wynika stąd, że dla dowolnej wartości rzeczywistej parametru$\lambda$ funkcja postaci

$$u_{\lambda}(x,t)=\exp\left( -a^{2}\lambda^{2}t\right) \left[ A(\lambda )\cos\lambda x+B(\lambda)\sin\lambda x\right]%%$$ (4.3)

spełnia równanie (4.1) - być może bez zadanego warunku początkowego (4.2). Wyrażenia $A\left( \lambda\right)$ i$~B\left( \lambda\right)$ są w tym momencie dowolnymi funkcjami zmiennej $\lambda$.

Zastosujemy teraz następujące twierdzenie pomocnicze.
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeżeli funkcja $U\left( x,t,\alpha\right)$ dla każdej wartości rzeczywistej parametru $\alpha$ spełnia względem zmiennych $\left(x,t\right)$ liniowe równanie różniczkowe $LU=0$, to całka postaci

$$u\left( x,t\right) =<tex2html_comment_mark>548 {\displaystyle\int......ty}^{+\infty}} U\left( x,t,\alpha\right) \varphi\left( \alpha\right) d\alpha%%$$ (4.4)

jest także rozwiązaniem tego równania, o ile można obliczyć pochodne występujące w równaniu $LU=0$ przez różniczkowanie pod znakiem całki.

Stosując powyższe twierdzenie do funkcji $U\left( x,t,\lambda\right)=u_{\lambda}\left( x,t\right)$ przedstawiamy rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego w postaci

$$u(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp\left( -a^{2}\lambda^{2}t\right) \left[ A(\lambda)\cos\lambda x+B(\lambda)\sin\lambda x\right] d\lambda %%$$ (4.5)

Podstawiając $t=0$ i uwzględniając warunek początkowy (4.2) otrzymujemy

$$\varphi\left( x\right) =u\left( x,0\right) =\int\limits_{-\infty}......{+\infty}\left[ A(\lambda)\cos\lambda x+B(\lambda)\sin\lambda x\right] d\lambda %%$$ (4.6)

Z równości (4.6) należy wyznaczyć niewiadome funkcje$A\left( \lambda\right)$ i $B\left( \lambda\right)$.
 
 

Zadanie to jest równoważne przedstawieniu danej funkcji $\varphi$ w postaci tzw. całki Fouriera. Korzystając z teorii szeregów Fouriera, dowodzi się prawdziwości następującego twierdzenia.
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeżeli funkcja $\varphi\left( x\right)$ jest sumą swojego szeregu Fouriera w każdym przedziale postaci $\left( -l,l\right)$ oraz jest bezwzględnie całkowalna na osi rzeczywistej, tzn. zbieżna jest całka niewłaściwa $%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}\left\vert \varphi\left( x\right) \right\vert dx$, to funkcję $\varphi\left( x\right)$ przedstawić można w postaci całki Fouriera

$$\varphi\left( x\right) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[ A(\lambda)\cos\lambda x+B(\lambda)\sin\lambda x\right] d\lambda %%$$ (4.7)

gdzie

$$A(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\tau )\cos\lambda\tau d\tau, B(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty }^{+\infty}\varphi(\tau)\sin\lambda\tau d\tau %%$$ (4.8)

 
 

Z powyższego twierdzenia wynika bezpośrednio, że wzór (4.5), w którym funkcje $A\left( \lambda\right)$ i $B\left( \lambda\right)$ określone są wzorami (4.8) przedstawia rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego (4.1)-(4.2).

Rozwiązanie podstawowe, całka Poissona

W celu dalszego przekształcenia wzoru (4.5) wykorzystamy następujący lemat rachunkowy.
 
 

L e m a t

Zachodzi tożsamość

$$<tex2html_comment_mark>570 {\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty......sqrt{\pi}}{2a\sqrt{t}}\exp\left[ -\frac{\left( t-x\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right] %%$$ (4.9)

Dla dowodu wzoru, przekształcamy całkę po lewej stronie równości (4.9) jak następuje.

$$<tex2html_comment_mark>576 {\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty......2 {\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}} \exp\left[ -z^{2}\right] \cos\mu zdz %%$$ (4.10)

Oznaczmy $\Phi\left( \mu\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}\exp\left[ -z^{2}\right] \cos\mu zdz$. Wtedy

$$\Phi^{\prime}\left( \mu\right) =-%%{\displaystyle\int\limits_{0}......nfty}}\exp\left[ -z^{2}\right] \cos\mu zdz=-\frac{\mu}{2}\Phi\left( \mu\right)$$.$$%%$$ Mamy więc $$\Phi^{\prime}\left( \mu\right) +\frac{\mu}{2}\Phi\left( \mu\right)=0$$,$$%%$$ skąd wynika, że $\Phi\left( \mu\right) =C\exp\left[ -\frac{\mu^{2}%%}{4}\right]$.

Ponieważ $C=\Phi\left( 0\right)$, więc

$$C=%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}\exp\left[ -z^{2}\right] dz=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$.$$%%$$ W takim razie $\Phi\left( \mu\right) =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\exp\left[-\frac{\mu^{2}}{4}\right]$ i ze wzoru (4.10) wynika, że $$%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}\exp\left[ -a^{2}\lam......t{\pi}}%%{2a\sqrt{t}}\exp\left[ -\frac{\left( t-x\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right]$$,$$%%$$ co kończy dowód lematu.
 
 

Podstawiając wzory (4.8) do (4.5) i stosując pewne elementarne wzory trygonometryczne otrzymujemy

$$u(x,t)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\left[{\displaystyl......a^{2}\lambda^{2}t\right) \cos\lambda\left( \tau-x\right) d\tau\right] d\lambda$$.$$%%$$ Zamieniając w powyższym wzorze kolejność całkowania i stosując poprzedni lemat - wzór (4.9) otrzymujemy

$$u\left( x,t\right) =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[ {\displaystyl......cos\lambda\left( \tau-x\right) d\lambda\right] \varphi\left( \tau\right) d\tau=$$

$$=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}<tex2html_comment_mark>624 {\displaystyl......rac{\left( \tau-x\right) ^{2}<tex2html_comment_mark>628 }{4a^{2}t}\right] d\tau %%$$ (4.11)

Wprowadzając oznaczenie

$$F\left( x,t,\tau\right) =\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\exp\left[ -\frac{\left( \tau-x\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right]%%$$ (4.12)

możemy wzór (4.11) zapisać w prostszej postaci

$$u\left( x,t\right) =<tex2html_comment_mark>631 {\displaystyle\int......ts_{-\infty}^{+\infty}} \varphi\left( \tau\right) F\left( x,t,\tau\right) d\tau$$ (4.13)

Funkcję $F\left( x,t,\tau\right)$ określoną wzorem (4.12) nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego, zaś wzór (4.13) opisujący rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego - całką Poissona.

Przykłady

P r z y k ł a d  1

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe (4.1)-(4.2) dla $a=1$ oraz $\varphi$ określonej wzorem

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}[c]{ll}%%3 & \text{dla }\le......0 & \text{dla }\left\vert x\right\vert >1.\end{array}\right.$$ Ze wzorów (4.8) wynika, że $$A(\lambda)=\frac{3\sin\lambda}{\lambda\pi},$$$$B(\lambda)=0$$,$$%%$$ zatem zgodnie ze wzorem (4.5) $$u(x,t)=\frac{6}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp\left( -\lambda^{2}t\right)\frac{\sin\lambda\cos\lambda x}{\lambda}d\lambda$$ lub w postaci równoważnej (4.11) $$u(x,t)=\frac{3}{2\sqrt{\pi t}}\int\limits_{-1}^{+1}\exp\left[ -\frac{\left(\tau-x\right) ^{2}}{4t}\right] d\tau\text{.}%%$$ Następny rysunek przedstawia wykresy temperatury w różnych chwilach czasu. Poszczególne rodzaje linii odpowiadają czasom:

linia czerwona ciągła - t=0,01;

linia niebieska ,,kreska-kropka'' - t=0,1;

linia czarna ,,kreska-kreska'' - t=1;

linia czarna ,,kropka-kropka'' - t=4.

Dla wartości t bliskich zeru wykres przybliża funkcję $\varphi$, która jest w tym przykładzie nieciągła, dla dużych t następuje wyrównywanie temperatury wewnątrz pręta.

P r z y k ł a d  2

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla $a=1$ oraz$\varphi$ określonej wzorem

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}[c]{ll}%%3(1-\left\vert x\r......0 & \text{dla }\left\vert x\right\vert >1.\end{array}\right.$$ Podobnie jak poprzednio, wyznaczamy $A\left( \lambda\right)$, $B\left( \lambda\right)$, $u\left( x,t\right)$ $$A(\lambda)=\frac{3(1-\cos\lambda)}{\lambda^{2}\pi},$$$$B(\lambda)=0$$,$$%%$$

$$u(x,t) =\frac{6}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp\left( -\lambda ^{2}t\right) \frac{(1-\cos\lambda)\cos\lambda x}{\lambda^{2}}d\lambda=$$

$$=\frac{3}{2\sqrt{\pi t}}\int\limits_{-1}^{+1}\left( 1-\left\vert r\right\vert \right) \exp\left[ -\frac{\left( r-x\right) ^{2}}{4t}\right] dr.$$

Kolejny rysunek przedstawia wykresy temperatury w różnych chwilach czasu. Poszczególne rodzaje linii odpowiadają czasom:

linia czerwona ciągła - t=0,001;

linia niebieska ,,kreska-kropka'' - t=0,1;

linia czarna ,,kreska-kreska'' - t=1;

linia czarna ,,kropka-kropka'' - t=4.

Podobnie jak w przykładzie poprzednim, dla t=0,001 otrzymujemy wykres przybliżający funkcję $\varphi$, zaś dla dużych t następuje wyrównywanie temperatury wewnątrz pręta.

P r z y k ł a d  3

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla $a=1$ oraz$\varphi$ określonej wzorem

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}[c]{ll}%%T_{1} & \text{dla }x>0\\T_{2} & \text{dla }x<0.\end{array}\right.$$ W celu rozwiązania tego zagadnienia skorzystamy bezpośrednio ze wzoru (4.11), który pozostaje prawdziwy nawet wówczas, gdy funkcja$\varphi$ nie spełnia wszystkich założeń wymaganych dla przedstawienia jej za pomocą całki Fouriera.

Korzystając z faktu, że $%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}}\exp\left( -s^{2}\right) ds=%%{\d......tyle\int\limits_{0}^{+\infty}}\exp\left( -s^{2}\right) ds=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, otrzymujemy

$$u\left( x,t\right) =\frac{T_{2}}{2a\sqrt{\pi t}}<tex2html_comment_mark>654 {\display......^{+\infty}} \exp\left[ -\frac{\left( \tau-x\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right] d\tau=$$

$$=\left\vert \begin{array}[c]{cc}<tex2html_comment_mark>662 \frac{......style\int\limits_{-\frac{x}{2\sqrt{t}}}^{+\infty}} \exp\left( -s^{2}\right) ds=$$

$$=\frac{T_{2}}{\sqrt{\pi}}\left[ \frac{\sqrt{\pi}}{2}-<tex2html_co......yle\int\limits_{-\frac{x}{2\sqrt{t}}}^{0}} \exp\left( -s^{2}\right) ds\right] =$$

$$=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}+\frac{T_{1}-T_{2}}{\sqrt{\pi}}<tex2html_co......\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{x}{2\sqrt{t}}}} \exp\left( -s^{2}\right) ds %%$$

Rozważmy teraz przypadek szczególny $T_{1}=3$, $T_{2}=0$.

Oto wykresy temperatury. Poszczególne linie odpowiadają różnym wartościom t.

linia czerwona ciągła - t=0,01;

linia niebieska ,,kreska-kropka'' - t=0,1;

linia czarna ,,kreska-kreska'' - t=1;

linia czarna ,,kropka-kropka'' - t=10.

Spis rzeczy