Spis rzeczy

Rozkład temperatury w pręcie półograniczonym

Rozkład temperatury w jednowymiarowym półograniczonym pręcie, w którym nie występują wewnętrzne źródła ciepła, opisuje funkcja $u=u(x,t)$, spełniająca jednorodne równanie przewodnictwa cieplnego (4.1).

Zakładamy, że dany jest początkowy rozkład temperatury

$$u(x,0)=\varphi(x), x\geq0 %%$$ (4.14)

gdzie $\varphi$ jest pewną daną funkcją ograniczoną, oraz stan temperatury na końcu pręta w dowolnej chwili czasu $t$

$$u(0,t)=\alpha(t), t>0 %%$$ (4.15)

Rozwiązanie $u(x,t)$ zagadnienia (4.1), (4.14), (4.15) przedstawiamy w postaci

$$u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)$$,$$%%$$ gdzie $u_{1}$ i $u_{2}$ są rozwiązaniami rozważanego jednorodnego równania przewodnictwa spełniającymi warunki

$$u_{1}(x,0) =\varphi(x), u_{1}(0,t)=0$$

$$u_{2}(x,0) =0, u_{2}(0,t)=\alpha(t) %%$$

Korzystając z własności rozwiązania podstawowego równania przewodnictwa, analogicznie jak w punkcie poprzednim, można wyprowadzić wzory

$$u_{1}(x,t) =\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int\limits_{0}^{+\infty}\left\{ \exp\le...... -\frac{\left( x+\tau\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right] \right\} \varphi (\tau)d\tau$$ (4.16)

$$u_{2}(x,t) =\frac{x}{2a\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\alpha (r)}{\sqrt{(t-r)^{3}}}\exp\left[ -\frac{x^{2}}{4a^{2}\left( t-r\right) }\right] dr %%$$ (4.17)

P r z y k ł a d

Rozwiązać powyższe zagadnienie dla$a=1$, $\alpha(t)=0$,$\varphi(x)=T>0$ (chłodzenie pręta o ustalonej jednorodnej temperaturze początkowej).

Z przedstawionych warunków oraz ze wzoru (4.17) wynika, że$u_{2}(x,t)=0$, zaś

$$u(x,t)=u_{1}(x,t)=\frac{T}{2\sqrt{\pi t}}\int\limits_{0}^{+\infty......u\right) ^{2}}{4t}\right] \right\} d\tau=T\Phi\left(\frac{x}{2\sqrt{t}}\right)$$   ,$$%%$$ gdzie $$\Phi(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{z}\exp\left( -x^{2}\right)dx$$.$$%%$$ Poniższy rysunek przedstawia wykresy temperatury w różnych chwilach czasu (t=0,001, t=0,1, t=1, t=5, t=20) i przedziałach zmienności $x$ dla $T=1$. Wraz z upływem czasu następuje obniżenie temperatury we wszystkich punktach pręta.