Spis rzeczy

Subsections

• Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego
• Zasada maksimum dla równania przewodnictwa
• Jednoznaczność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego
• Stabilność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego

Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego

Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego

Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa

$$u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,t) x\in\left( 0;l\right) t>0 %%$$ (5.1)

spełniającego warunki brzegowe

$$u\left( 0,t\right) =\alpha\left( t\right) u\left( l,t\right) =\beta\left( t\right) t>0%%$$ (5.2)

i warunek początkowy

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) x\in\left( 0;l\right) %%$$ (5.3)

Rozwiązanie zagadnienia (5.1)-(5.3) można znaleźć metodą Fouriera, podobnie jak w przypadku struny skończonej.

Podstawienie

$$u(x,t) =v(x,t)+w(x,t),\$$

$$w(x,t) =\alpha(t)+\left[ \beta(t)-\alpha(t)\right] \frac{x}{l}%%$$

sprowadza problem do przypadku jednorodnych warunków brzegowych, tak więc wystarczy umieć rozwiązać zadanie dla $\alpha\left(t\right) \equiv0$, $\beta\left( t\right) \equiv0$.

Przedstawiamy szukaną funkcję $v$ w postaci

$$v(x,t)=v_{1}(x,t)+v_{2}(x,t)$$,$$%%$$ gdzie $v_{1}$ i $v_{2}$ są rozwiązaniami zagadnień

$$\left( v_{1}\right) _{t} =a^{2}\left( v_{1}\right) _{xx} x\in\left( 0;l\right) t>0$$

$$v_{1}\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) -w\left( x,0\right) v_{1}\left( 0,t\right) =v_{1}\left( l,t\right) =0$$

oraz

$$\left( v_{2}\right) _{t} =a^{2}\left( v_{2}\right) _{xx}+f\left( x,t\right) -w_{t}\left( x,t\right) x\in\left( 0;l\right) t>0$$

$$v_{2}\left( x,0\right) =0 v_{2}\left( 0,t\right) =v_{2}\left( l,t\right) =0 %%$$

Przedstawiając $v_{1}\left( x,t\right) =X\left( x\right) T\left(t\right)$ i rozdzielając zmienne, po przeprowadzeniu dyskusji wartości własnych odpowiedniego zagadnienia Sturma-Liouville'a, otrzymujemy wzór na postać funkcji $v_{1}\left( x,t\right)$

$$=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{n}e^{-\left( \frac{n\pi}<tex2html_comment_mark>712 {l}\right) ^{2}a^{2}t}\sin\frac{n\pi}{l}x$$ (5.4)

$$c_{n} =\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}\left[ \varphi(s)-w(s,0)\right] \sin\frac{n\pi}{l}sds n=1,2,... %%$$ (5.5)

Analogicznie, jak w przypadku struny, otrzymujemy przedstawienie funkcji$v_{2}$ w postaci szeregu

$$v_{2}(x,t) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty}d_{n}(t)\sin\pi\frac{nx}{l}$$ (5.6)

$$d_{n}(t) =\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{t}e^{-\left( \frac{n\pi}{l}\right) ^......l}\left[ f(s,\tau)-w_{\tau }(s,\tau)\right] \sin\frac{n\pi}{l}sds\right\} d\tau %%$$ (5.7)

Założenia, które należy przyjąć o funkcjach danych są analogiczne do założeń dla odpowiedniego zagadnienia dla struny skończonej.
 

P r z y k ł a d  1

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla $a=1$, $l=1$,$f(x,t)=0$, $\alpha(t)=0$, $\beta(t)=0$, $\varphi(x)=1$ (chłodzenie pręta o ustalonej jednorodnej temperaturze początkowej).
 
 

Z przedstawionych warunków wynika, że

$$w(x,t)\equiv0,$$$$v_{2}(x,t)\equiv0,$$$$v_{1}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{n}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx$$,$$%%$$ gdzie $$c_{n}=\frac{2}{\pi n}\left[ 1-(-1)^{n}\right]$$    dla $$n=1,2,...$$ zatem $$u(x,t)=\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx.$$ Następny rysunek przedstawia zmiany wykresu temperatury pręta w czasie$t=0,001$, $t=0,01$, $t=0,1$, $t=1$.
Najniższy wykres przedstawia temperaturę w punkcie środkowym pręta dla $x=0,5$. W miarę upływu czasu następuje obniżenie temperatury we wszystkich punktach pręta.

P r z y k ł a d  2

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla $a=1,$$l=1,$$f(x,t)=0,$$\alpha(t)=0,$$\beta(t)=0,$$\varphi(x)=2x(1-x)$.
 
 

Z warunków zadania wynika, że

$$w(x,t)\equiv0,$$$$v_{2}(x,t)\equiv0,$$$$v_{1}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{n}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx$$,$$%%$$ gdzie $$c_{n}=\frac{8}{(\pi n)^{3}}\left[ 1-(-1)^{n}\right]$$    dla $$n=1,2,...$$ zatem $$u(x,t)=\frac{8}{\pi^{3}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n^{3}%%}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx\text{.}%%$$ Następny rysunek przedstawia zmiany wykresu temperatury pręta w czasie$t=0,001$, $t=0,01$, $t=0,1$, $t=1$ oraz temperaturę w punkcie środkowym pręta.

P r z y k ł a d  3

Rozwiązać powyższe zagadnienie początkowe dla $a=1,$$l=1,$$f(x,t)=0,$$\alpha(t)=0,$$\beta(t)=1,$$\varphi(x)=0$ (podgrzewanie pręta od prawego końca).
 
 

Z warunków zadania wynika, że

$$w(x,t)=x,$$$$v_{2}(x,t)\equiv0,$$$$v_{1}(x,t)=\sum\limits_{n=1}%%^{+\infty}c_{n}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx$$,$$%%$$ gdzie $$c_{n}=\frac{2}{\pi n}(-1)^{n}$$ dla $$n=1,2,...$$,$$%%$$ zatem $$u(x,t)=x+\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}e^{-\pi^{2}n^{2}t}\sin\pi nx\text{.}%%$$ Następny rysunek przedstawia zmiany wykresu temperatury pręta w czasie$t=0,001$, $t=0,01$, $t=0,1$, $t=1$ oraz temperaturę w punkcie środkowym pręta. W miarę upływu czasu temperatura zbliża się do wartości funkcji liniowej $y=x$ we wszystkich punktach pręta.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa

Załóżmy, że $u\left( x,t\right)$ jest rozwiązaniem jednorodnego równania przewodnictwa

$$u_{t}=a^{2}u_{xx} 0<x<l 0<t\leq T %%$$ (5.8)

Zachodzi następujące twierdzenie zwane zasadą maksimum dla równania przewodnictwa cieplnego.
 
 

T w i e r d z e n i e (zasada maksimum)

Jeśli funkcja $u\left( x,t\right)$ określona i ciągła w obszarze $0\leq t\leq T$, $0\leq x\leq l$ spełnia jednorodne równanie przewodnictwa (5.8) w punktach obszaru $0<t\leq T$, $0<x<l$, to osiąga ona swoje kresy w chwili początkowej $t=0$ lub dla $x=0$ lub dla$x=l$.

Sens fizyczny tego twierdzenia jest następujący: jeśli temperatura na brzegu pręta nie przekracza pewnej wartości $M$ i początkowa temperatutra także nie przekracza $M$, to wewnątrz pręta, przy braku źródeł ciepła, nie może pojawić się temperatura wyższa niż $M$.

Jednoznaczność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego

Niech $u_{1}\left( x,t\right)$ i $u_{2}\left( x,t\right)$ będą dwoma rozwiązaniami pierwszego zagadnienia brzegowego
(5.1)-(5.3). Wówczas funkcja $$v\left( x,t\right) =u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right)$$ spełnia jednorodne równanie (5.8) oraz jednorodne warunki brzegowe$v\left( 0,t\right) =v\left( l,t\right) =0$ i początkowe $v\left(x,0\right) =0$. Z zasady maksimum wynika więc, że kres górny i dolny funkcji $v\left( x,t\right)$ są równe zero. Oznacza to, że $v\left( x,t\right) \equiv0$, a zatem $u_{1}\left( x,t\right)\equiv u_{2}\left( x,t\right)$, tzn. zagadnienie jest jednoznacznie rozwiązalne.

Stabilność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego

Z zasady maksimum wynika bezpośredno następujący wniosek.
 
 

W n i o s e k

Jeśli $u_{1}\left( x,t\right)$ i $u_{2}\left( x,t\right)$ są dwoma rozwiązaniami równania (5.1) i spełnione są warunki

$$u_{1}\left( x,0\right) \leq u_{2}\left( x,0\right) <tex2html_comment_mark>731 x\in\left[ 0;l\right]$$

$$u_{1}\left( 0,t\right) \leq u_{2}\left( 0,t\right) <tex2html_comment_mark>732 u_{1}\left( l,t\right) \leq u_{2}\left( l,t\right) <tex2html_comment_mark>733 t\in\left[ 0;T\right] %%$$

to dla dowolnych $x\in\left[ 0;l\right]$, $t\in\left[ 0;T\right]$ zachodzi nierówność

$$u_{1}\left( x,t\right) \leq u_{2}\left( x,t\right)$$.$$%%$$ D o w ó d

Rozważając funkcję $v\left( x,t\right) =u_{2}\left( x,t\right)-u_{1}\left( x,t\right)$ stwierdzamy, że spełnia ona równanie (5.8), a ponadto warunki

$$v\left( x,0\right) \geq0$$, $$v\left( 0,t\right) \geq0$$, $$v\left(l,t\right) \geq0$$.$$%%$$ Z zasady maksimum wynika, że $v\left( x,t\right) \geq0$ dla wszystkich$\left(x,t\right)$ z rozważanego obszaru, zatem $u_{1}\left(x,t\right) \leq u_{2}\left( x,t\right)$.
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeśli $u_{1}\left( x,t\right)$ i $u_{2}\left( x,t\right)$ są rozwiązaniami równania (5.1) takimi, że warunki brzegowe i początkowy spełniają nierówność

$$\left\vert u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right) \right\vert \leq\varepsilon t=0 x=0 x=l %%$$ (5.9)

to

$$\left\vert u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right) \right\vert \leq\varepsilon$$ dla wszystkich $$\left( x,t\right) \in\left[0;l\right] \times\left[ 0;T\right]$$ (powyższa nierówność oznacza stabilność rozwiązania pierwszego zagadnienia brzegowego).
 
 

D o w ó d

Warunek (5.9) można zapisać w postaci

$$-\varepsilon\leq u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right)\leq\varepsilon$$ dla $$t=0,x=0,x=l.$$ Oznaczając $v_{1}\left( x,t\right) =-\varepsilon$, $v_{2}\left(x,t\right) =u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right)$ i stosując wniosek otrzymujemy nierówność $-\varepsilon\lequ_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right)$ dla wszystkich $\left(x,t\right) \in\left[ 0;l\right] \times\left[ 0;T\right]$.

Podstawiając z kolei $v_{1}\left( x,t\right) =u_{1}\left( x,t\right)-u_{2}\left( x,t\right)$ i $v_{2}\left( x,t\right) =\varepsilon$ otrzymujemy nierówność $u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left(x,t\right) \leq\varepsilon$ co kończy dowód twierdzenia.