Spis rzeczy

Subsections

• Zagadnienie ostygania walca
• Zagadnienie nagrzewania powierzchni bocznej walca

Przykłady radialnego rozkładu ciepła w walcu

Zagadnienie ostygania walca

Rozważamy walec o promieniu $a,$ którego osią jest $Oz$. Niech$u=u(r,t)$ oznacza temperaturę punktu walca oddalonego od jego osi o $r$, w chwili $t$. Funkcja ta spełnia równanie przewodnictwa (we współrzędnych biegunowych) postaci

$$u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}=\frac{1}{k}u_{t} r\in\lbrack0,a) t>0 k>0 %%$$ (5.10)

Załóżmy, że powierzchnia boczna walca utrzymywana jest w temperaturze 0, a więc spełniony jest jednorodny warunek brzegowy

$$u(r,t)=0 r=a, t>0 %%$$ (5.11)

Zakładamy również spełnianie osiowosymetrycznego warunku początkowego

$$u(r,0)=\varphi(r) 0\leq r<a,%%$$ (5.12)

gdzie $\varphi$ jest funkcją daną, która może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera - Bessela.

Stosując metodę Fouriera (rozdzielenia zmiennych) dla$u(r,t)=R(r)T(t)$ otrzymujemy dwa równania

$$\frac{R^{\prime\prime}(r)+\frac{1}{r}R^{\prime}(r)}{R(r)}=\frac{T^{\prime\prime}(t)}{kT(t)}=-\lambda=const.$$ Z warunku brzegowego wynika, że stały parametr $\lambda$ może przyjmować wartości $$\lambda=\lambda_{n}=\frac{x_{n}^{2}}{a^{2}}$$, dla $$n=1,2,...$$,$$%%$$ gdzie $(x_{n})$ jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessela $J_{0}.$ W takim razie funkcja  $$u_{n}(r,t)=C_{n}J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) e^{-\left( \frac{x_{n}%%}{a}\right) ^{2}kt}\text{ \ \ \ dla }n=1,2,...$$ i dowolnej stałej $C_{n}$ jest rozwiązaniem rozważanego równania spełniającym jednocześnie jednorodny warunek brzegowy $u_{n}\left(a,t\right) =0$.

Pełnym rozwiązaniem zagadnienia (5.10)-(5.12), speł niającym także warunek początkowy, jest funkcja $u(r,t)$ określona jako suma szeregu

$$u(r,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_{n}J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) e^{-\left( \frac{x_{n}}{a}\right) ^{2}kt}%%$$ (5.13)

gdzie stałe$C_{n}$ wyznaczone są za pomocą wzorów

$$C_{n}=\frac{2}{a^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{a}r\varphi (r)J_{0}\left( x_{n}\frac{r}{a}\right) dr, n=1,2,\ldots %%$$ (5.14)

P r z y k ł a d

Rozwiązać zagadnienie ostygania walca dla $a=1$, $\varphi(r)=1-r^{2}$.
 
 

Zgodnie za wzorem (5.14)

$$C_{n}=\frac{2}{J_{1}^{2}(x_{n})}\int\limits_{0}^{1}r(1-r^{2})J_{0}%%(x_{n}r)dr\$$   dla $$n=1,2,...$$ Korzystając z własności funkcji Bessela oraz stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy ostatecznie $$C_{n}=\frac{4J_{2}(x_{n})}{x_{n}^{2}J_{1}^{2}(x_{n})}=\frac{8}{x_{n}^{3}%%J_{1}(x_{n})}\text{,}%%$$ a zatem zgodnie ze wzorem (5.13) rozwiązanie $u\left( r,t\right)$ zagadnienia wyraża się wzorem $$u(r,t)=8\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x_{n}^{3}J_{1}(x_{n})}J_{0}%%(x_{n}r)e^{-x_{n}^{2}t}.$$ Poniższy rysunek przedstawia wykresy temperatury $u(r,t)$ dla $t=0$,$t=0.1$, $t=0.5$. W miarę upływu czasu następuje obniżenie temperatury we wszystkich punktach walca.

Zagadnienie nagrzewania powierzchni bocznej walca

Rozważamy walec o promieniu $a,$ którego osią jest $Oz$. Niech$u=u(r,t)$ oznacza temperaturę punktu walca oddalonego od jego osi o $r$, w chwili $t$. Funkcja ta spełnia równanie przewodnictwa postaci (5.10).

Załóżmy, że powierzchnia boczna walca utrzymywana jest w temperaturze $V_{0}$, a więc spełniony jest warunek brzegowy

$$u(r,t)=V_{0}>0 r=a t>0 %%$$ (5.15)

Zakładamy również spełnianie jednorodnego warunku początkowego

$$u(r,0)=0 0\leq r<a %%$$ (5.16)

Niech $Y(r,s)$ będzie transformatą Laplace'a funkcji $u(r,t)$ względem zmiennej $t$. Wtedy $Y(r,s)$ spełnia równanie

$$Y_{rr}+\frac{1}{r}Y_{r}-\frac{s}{k}Y=0 %%$$ (5.17)

Warunek brzegowy (5.15) implikuje równość

$$Y\left( a,s\right) =\frac{V_{0}}{s} %%$$ (5.18)

Rozwiązaniem równania (5.17) spełniającym jednocześnie warunek brzegowy (5.18) jest funkcja

$$Y(r,s)=\frac{V_{0}}{s}\frac{J_{0}(qr)}{J_{0}(qa)},$$ gdzie $$%%q=\sqrt{-\frac{s}{k}}$$.$$%%$$ Odwracając transformatę Laplace'a np. za pomocą twierdzenia o residuach, otrzymujemy ostatecznie wzór na rozwiązanie zagadnienia

$$u(r,t)=V_{0}\left[ 1-2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{J_{0}\left......n})}e^{-\left( \frac{x_{n}}<tex2html_comment_mark>764 {a}\right) ^{2}kt}\right] %%$$ (5.19)

gdzie $\left( x_{n}\right)$ jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessela$J_{0}$.

P r z y k ł a d

Rozwiązać powyższe zagadnienie dla $a=1$, $k=1$, $V_{0}=1$.
 
 

Na podstawie wzoru (5.19) możemy napisać, że

$$u(r,t)=1-2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{J_{0}(x_{n}r)}{x_{n}J_{1}(x_{n}%%)}e^{-x_{n}^{2}t}\text{.}%%$$ Linie w kolorze niebieskim są wykresami funkcji $u\left( r,t\right)$ dla $t=0$, $t=0,2$, $t=0,1$, zaś linia czerwona jest wykresem temperatury jako funkcji czasu w punkcie położonym na osi walca ($x=0$).

W miarę upływu czasu następuje wzrost temperatury do wartości $V_{0}=1$ we wszystkich punktach walca.