Spis rzeczy

Subsections

• Równania opisujące ruch falowy
• Równania przewodnictwa cieplnego i dyfuzji
• Zagadnienia prowadzące do równania Laplace'a i równania Poissona

Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych

Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o$n$zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci

$$F\left( x_{1},\ldots,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots,u_{x_{n}},u_{x_{1}x_{1}<tex2html_comment_mark>22 },u_{x_{1}x_{2}},\ldots,u_{x_{n}x_{n}}\right) =0 %%$$ (1.1)

gdzie $u=u\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$.

Równania opisujące ruch falowy

Zjawiska drgań poprzecznych struny jednowymiarowej, drgań podłużnych prętów, drgań elektrycznych w przewodach opisane są równaniem

$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}+f\left( x,t\right) %%$$ (1.2)

które jest szczególnym przypadkiem równania (1.1) dla $n=2$,$u=u\left( x,t\right)$.

Drgania poprzeczne membrany opisuje równanie

$$u_{tt}=c^{2}\left( u_{xx}+u_{yy}\right) +f\left( x,t\right)$$,$$%%$$ które spełnia funkcja $u=u\left( x,y,t\right)$ - wychylenie z położenia równowagi ($n=3$), zaś równanie fali akustycznej jest postaci $$u_{tt}=c^{2}\left( u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)$$,$$%%$$ gdzie $u=u\left( x,y,z,t\right)$ oznacza tzw. potencjał prędkości ($n=4$).

Wszystkie powyżej rozważane równania można jednolicie zapisać używając tzw. operatora Laplace'a $\Delta u=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}u_{x_{i}x_{i}}$ (względem zmiennych przestrzennych) w postaci

$$u_{tt}=c^{2}\Delta u+f\left( x_{1},\ldots,x_{n},t\right) %%$$ (1.3)

Równania przewodnictwa cieplnego i dyfuzji

Zjawisko przewodnictwa cieplnego w pręcie jednowymiarowym opisane jest równaniem

$$u_{t}=a^{2}u_{xx}+f\left( x,t\right) %%$$ (1.4)

gdzie funkcja $u=u\left( x,t\right)$ oznacza temperaturę w punkcie $x$, w chwili $t$, zaś $f$ opisuje działające źródła ciepła. Również zjawisko dyfuzji gazu lub cieczy opisane jest równaniem (1.4), gdzie $u$ oznacza stężenie obserwowanego składnika.

Rozchodzenie się ciepła w przestrzeni można opisać równaniem

$$u_{t}=a^{2}\Delta u+f\left( x,y,z,t\right) %%$$ (1.5)

gdzie $\Delta$ jest operatorem Laplace'a $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$.

Zagadnienia prowadzące do równania Laplace'a i równania Poissona

Stacjonarne (niezmienne w czasie) pole temperatur $u\left( x,y,z\right)$ spełnia równanie Laplace'a

$$\Delta u=0 %%$$ (1.6)

co wynika bezpośrednio z równania (1.5), w którym $f\equiv0$. Powyższe równanie spełnione jest także przez potencjał pola grawitacyjnego i elektrostatycznego w próżni.

Gdy gęstość masy (ładunków elektrostatycznych) wynosi $\rho$, to wówczas odpowiednie potencjały spełniają tzw. równanie Poissona

$$\Delta u=-4\pi\rho$$.$$%%$$ Szeroka klasa zagadnień związanych z drganiami ustalonymi prowadzi do tzw. równania Helmholtza $$\Delta u+k^{2}u=0$$.$$%%$$