Spis rzeczy

Klasyfikacja prawie-liniowych r.r.cz. II rzędu dla n=2

Szczególnie ważną rolę odgrywają prawie-liniowe równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Są to równania postaci

$$A\left( x,y\right) u_{xx}+2B\left( x,y\right) u_{xy}+C\left( x,y\right) u_{yy}+M\left( x,y,u,u_{x},u_{y}\right) =0 %%$$ (1.7)

W szczególności, równania (1.2), (1.4) i (1.6) dla$n=2$ są tej postaci.
 
 

Wprowadzamy wyróżnik $\Delta\left( x,y\right) =B^{2}\left(x,y\right) -A\left( x,y\right) C\left( x,y\right)$ i w zależności od jego znaku mówimy, że równanie (1.7) jest w punkcie $\left( x,y\right)$ typu:

- hiperbolicznego $\Leftrightarrow$ $\Delta\left( x,y\right)>0$,

- parabolicznego $\Leftrightarrow$ $\Delta\left( x,y\right)=0$,

-eliptycznego $\Leftrightarrow$ $\Delta\left( x,y\right) <0$.

Równanie (1.7) nazywamy hiperbolicznym (parabolicznym, eliptycznym) w obszarze
$D\subset\mathbb{R}^{2}$, jeśli jest ono hiperboliczne (paraboliczne, eliptyczne) w każdym punkcie obszaru $D$.

Załóżmy, że dane jest przekształcenie $\xi=\xi\left(x,y\right)$, $\eta=\eta\left( x,y\right)$ określone dla $\left(x,y\right) \in D$. Zakładamy, że jest ono nieosobliwe, tzn. jego jakobian spełnia warunek

$$\frac{\partial\left( \xi,\eta\right) }{\partial\left( x,y\right) ......\ \eta_{x} & \eta_{y}<tex2html_comment_mark>41 \end{array} \right\vert \neq0%%$$ (1.8)

T w i e r d z e n i e

Typ równania (1.7) jest niezmienniczy ze względu na nieosobliwą zamianę zmiennych (1.8).
 
 

Dowód twierdzenia wynika z faktu, że po dokonaniu zamiany zmiennych w równaniu jego ,,nowy''wyróżnik $\Delta^{\prime}$ spełnia zależność

$$\Delta^{\prime}=\left[ \frac{\partial\left( \xi,\eta\right) }%%{\partial\left( x,y\right) }\right] ^{2}\Delta$$, $$%%$$ a zatem znaki wyrażeń $\Delta$ i $\Delta^{\prime}$ są takie same.

Prawdziwe są następujące twierdzenia dotyczące poszczególnych typów równań prawie-liniowych postaci (1.7).
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeśli równanie (1.7) jest hiperboliczne w obszarze $D$ i $A\neq0$ lub $C\neq0$, to istnieje nieosobliwe przekształcenie $\xi=\xi\left(x,y\right)$, $\eta=\eta\left( x,y\right)$, $\left(x,y\right) \in D$ takie, że równanie (1.7) we współrzędnych $\xi$, $\eta$ przybiera postać

$$u_{\xi\eta}+G\left( \xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta}\right) =0%%$$ (1.9)

zwaną pierwszą postacią kanoniczną równania (1.7) w przypadku hiperbolicznym. Funkcje $\xi\left( x,y\right)$ i$\eta\left( x,y\right)$ są całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

$$\frac{dy}{dx}=-m_{1}$$, $$\frac{dy}{dx}=-m_{2}$$,$$%%$$ gdzie $$m_{1,2}\left( x,y\right) =\frac{-B\left( x,y\right) \pm\sqrt{\Delta\left(x,y\right) }}{A\left( x,y\right) }\text{.}%%$$

T w i e r d z e n i e

Jeżeli równanie (1.7) jest paraboliczne w obszarze $D$ i $A\neq0$, to istnieje nieosobliwe przekształcenie $\xi=\xi\left(x,y\right)$,$\eta=\eta\left( x,y\right)$, $\left(x,y\right) \in D$ takie, że równanie (1.7) we współrzędnych $\xi$, $\eta$ przybiera postać

$$u_{\eta\eta}+G\left( \xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta}\right) =0%%$$ (1.10)

zwaną postacią kanoniczną równania typu parabolicznego o dwóch zmiennych niezależnych. Funkcja $\xi\left( x,y\right)$ jest całką pierwszą równania różniczkowego zwyczajnego

$$\frac{dy}{dx}=-m$$, gdzie $$m=-\frac{B\left( x,y\right) }{A\left(x,y\right) }\text{.}%%$$ Funkcję $\eta=\eta\left( x,y\right)$ przyjmujemy w sposób dowolny, ale tak, by para $\xi=\xi\left(x,y\right)$, $\eta=\eta\left( x,y\right)$ tworzyła nieosobliwe przekształcenie obszaru $D$, tzn. aby był speł niony warunek (1.8).
 
 

T w i e r d z e n i e

Jeżeli równanie (1.7) jest eliptyczne w obszarze $D$ i $A$, $B$,$C$ są analityczne, to istnieje nieosobliwe przekształcenie $\xi=\xi\left(x,y\right)$, $\eta=\eta\left( x,y\right)$, $\left(x,y\right) \in D$ takie, że równanie (1.7) we współrzędnych $\xi$, $\eta$ przybiera postać

$$u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+G\left( \xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta}\right) =0%%$$ (1.11)

zwaną postacią kanoniczną równania typu eliptycznego o dwóch zmiennych niezależnych. Funkcje $\xi\left( x,y\right)$ i$\eta\left( x,y\right)$ określone są zależnościami$\xi\left( x,y\right) =\operatorname{Re}\left( \varphi\left( x,y\right)\right)$, $\eta\left( x,y\right) =\operatorname{Im}\left( \varphi\left(x,y\right) \right)$, gdzie $\varphi\left( x,y\right)$ jest całką pierwszą, równania różniczkowego zwyczajnego

$$\frac{dy}{dx}=-m$$, gdzie $$m=\frac{-B\left( x,y\right) +i\sqrt{-\Delta\left( x,y\right) }}{A\left( x,y\right) }\text{.}%%$$