Spis rzeczy

Zadania

1. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<1\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $u_{\vert\partial D}=x+xy$.
2. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<4\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $u_{\vert\partial D}=x^{2}-2xy+2y^{2}$.
3. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left(x,y\right) :x^{2}+y^{2}<a^{2}\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $u_{\vert\partial D}=3x^{2}+xy-3y^{2}+x-y-2$,$a>0$.
4. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<4\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $u_{\vert\partial D}=x+3xy-x^{2}y$.
5. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<1\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $\frac{\partial u}{\partial n}_{\vert\partialD}=x+y$ i taką, że $u\left( 0,0\right) =0$.
6. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<1\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $\frac{\partial u}{\partial n}_{\vert\partialD}=x^{3}-y^{3}$ i taką, że $u\left( 0,0\right) =3$.
7. Znaleźć funkcję harmoniczną $u\left( x,y\right)$ w obszarze $D=\left\{ \left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}<1\right\}$ spełniającą warunek brzegowy $\frac{\partial u}{\partial n}_{\vert\partialD}=x^{2}$ i taką, że $u\left( 0,0\right) =0$.
8. Znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a $\Delta u=0$ w prostokącie $D=\left[ 0,a\right] \times\left[ 0,b\right]$, jeżeli na brzegu prostokąta określone są warunki $u\left( 0,y\right)=\varphi_{0}\left( y\right)$, $u\left( a,y\right) =\varphi_{1}\left(y\right)$, $u\left( x,0\right) =\psi_{0}\left( x\right)$, $u\left(x,b\right) =\psi_{1}\left( x\right)$ oraz funkcje dane spełniają odpowiednie warunki zgodności. Rozwiązać powyższe zagadnienie w przypadku szczególnym
$$\varphi_{0}\left( y\right) =Ay\left( b-y\right)$$   , $$\psi_{0}\left(x\right) =B\sin\frac{\pi x}{a}$$, $$\varphi_{1}\left( y\right) =\psi_{1}\left( x\right) =0$$.$$%%$$
9. Znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a $\Delta u=0$ w prostokącie $D=\left[ 0,a\right] \times\left[ 0,b\right]$, jeżeli na brzegu prostokąta określone są warunki $u\left( 0,y\right)=A$, $u\left( a,y\right) =Ay$, $u_{y}\left( x,0\right) =0$,

$u_{y}\left( x,b\right) =0$.
10. Znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a $\Delta u=0$ w prostokącie $D=\left[ 0,a\right] \times\left[ 0,b\right]$, jeżeli na brzegu prostokąta określone są warunki $u\left( 0,y\right)=A$, $u_{x}\left( a,y\right) =0$, $u_{y}\left( x,0\right) =T\sin\frac{\pix}{2a}$, $u\left( x,b\right) =0$.