Stabilność rozwiązania zagadnienia Dirichleta

Załóżmy, że $u_{1}$ i $u_{2}$ są rozwiązaniami zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona

$$\Delta u_{i}=f$$ dla $$\left( x,y\right) \in D$$,  $$i=1,2$$

z warunkami brzegowymi

$$u_{i\vert\partial D}=g_{i}$$,  $$i=1,2$$.$$%%$$

W takim razie funkcja $u=u_{1}-u_{2}$ jest rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a

$$\Delta u=0$$ w $$D$$,  $$u_{\vert\partial D}=g_{1}-g_{2}$$.$$%%$$

Przypuśćmy, że dla każdego $P\in\partial D$ zachodzi nierówność

$$\left\vert g_{1}\left( P\right) -g_{2}\left( P\right) \right\vert \leq \varepsilon$$.$$%%$$

Ponieważ funkcja stała równa $\varepsilon$, jest funkcją harmoniczną, więc na mocy wniosku $2$ z zasady maksimum dla funkcji harmonicznych (patrz poprzedni wykład), zachodzi nierówność

$$\left\vert u_{1}\left( x,y\right) -u_{2}\left( x,y\right) \right\vert \leq\varepsilon$$

dla dowolnych punktów $\left( x,y\right) \in D$, co dowodzi stabilności rozwiązania.