Spis rzeczy

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Rozważmy płaski obszar $D\subset\mathbb{R}^{2}$ ograniczony krzywą$\partial D$. Dla równania Laplace'a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe.

Zagadnienie Dirichleta (tzw. zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju)

Znaleźć funkcję $u$ spełniającą warunki

$$\Delta u =0 \Delta u=f \left( x,y\right) \in D$$ (7.1)

$$u_{\vert\partial D} =g\left( x,y\right) %%$$ (7.2)

gdzie $g$ jest funkcją daną określoną na $\partial D$. Warunek (7.2) rozumiany jest w sensie przejścia granicznego jako$\lim\limits_{D\ni P\rightarrow P_{0}\in\partial D}u\left( P\right)=g\left( P_{0}\right)$.

Zagadnienie Neumanna (tzw. zagadnienie brzegowe drugiego rodzaju)

Znaleźć funkcję $u$ spełniającą warunki

$$\Delta u =0 \Delta u=f \left( x,y\right) \in D$$ (7.3)

$$\frac{\partial u}{\partial n}_{\vert\partial D} =g\left( x,y\right) %%$$ (7.4)

gdzie $g$ jest funkcją daną określoną na $\partial D$, $n$ jest wektorem normalnym zewnętrznym. Warunek (7.4) również należy rozumieć w sensie przejścia do granicy od wnętrza obszaru.

Zagadnienie Robina (tzw. zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju)

Znaleźć funkcję $u$ spełniającą warunki

$$\Delta u =0 \Delta u=f \left( x,y\right) \in D$$ (7.5)

$$\left( a\frac{\partial u}{\partial n}+bu\right) _{\vert\partial D} =g\left( x,y\right) %%$$ (7.6)

gdzie $a$, $b$, $g$ są danymi funkcjami określonymi na$\partial D$,$a^{2}+b^{2}>0$, $n$ jest wektorem normalnym zewnętrznym. Warunek (7.6) również należy rozumieć w sensie przejścia granicznego.

Postawione zagadnienia są tzw. zagadnieniami wewnętrznymi. Stawia się ponadto zagadnienia zewnętrzne dla obszarów$D$ nieograniczonych, zewnętrznych względem danych krzywych początkowych.

W tym przypadku należy dodatkowo przyjąć, że poszukiwana funkcja spełnia pewien warunek dotyczący zachowania się jej dla punktów odległych od początku układu, tzw. ,,warunek w nieskończoności''.

Dla równania Laplace'a nie stawia się zagadnienia Cauchy'ego, poza jednym przypadkiem, gdy poszukuje się lokalnie rozwiązania w klasie funkcji analitycznych przy analitycznych danych początkowych. Powodem tego jest fakt, że zagadnienie Cauchy'ego dla równania Laplace'a nie jest poprawnie postawione (patrz przykład z wykładu $1$).