Spis rzeczy

Subsections

• Przykłady dystrybucji skończonego rzędu

Przestrzeń funkcji próbnych D, przestrzeń D'

Przyjmujemy następującą definicję.
 

D e f i n i c j a

D (zbiór funkcji próbnych) $=C_{0}^{\infty}\left(R\right)$ lub $C_{0}^{\infty}\left( R^{n}\right)$.
 

Oznacza to, że $\varphi\in D\Leftrightarrow\varphi\in C^{\infty}$ oraz $\operatorname*{supp}\varphi=\overline{\left\{ x:\varphi\left( x\right)\neq0\right\} }$ (nośnik funkcji) jest zwarty ( może być funkcją o wartościach rzeczywistych lub zespolonych).

W przestrzeni funkcji próbnych definiujemy zbieżność ciągu funkcyjnego w sposób następujący.
 

D e f i n i c j a

$\varphi_{n}\rightarrow\varphi$ w $D\Leftrightarrow\forall k\in N$$\ \varphi_{n}^{\left( k\right) }\rightrightarrows\varphi^{\left( k\right)}$ oraz nośniki $\operatorname*{supp}\varphi_{n}$ są wspólnie ograniczone.

(to jest kontrprzykład na zbieżność - brak wspólnej ograniczoności nośników).
 

T w i e r d z e n i e

Każda funkcja ciągła $f\left( t\right)$ o nośniku ograniczonym może być jednostajnie przybliżona przez funkcje z przestrzeni D.
 

Dla dowodu twierdzenia należy rozważyć funkcję

$$\xi\left( t\right) =\left\{\begin{array}[c]{rl}%%0 & \text......t{dla }\left\vert t\right\vert <1\text{,}%%\end{array}\right.$$ następnie zauważyć, że jest ona klasy $C^{\infty}$ i utworzyć kolejną funkcję pomocniczą określoną wzorem $$g_{\alpha}\left( t\right) =\frac{\xi\left( \frac{t}{\alpha}\right......{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}g_{\alpha}\left( t\right) dt=1$$ dla $\alpha>0.$ Funkcja $g_{a}$ jest tożsamościowo równa zeru poza przedziałem $\left( -\alpha,\alpha\right)$.

Niech

$$\varphi_{\alpha}\left( t\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{-\......u\right) g_{\alpha}\left( t-\tau\right) d\tau,\varphi_{\alpha}\in D\text{.}%%$$ Funkcja $\varphi_{\alpha}$ jest żądanym przybliżeniem, ponieważ $$\left\vert f\left( t\right) -\varphi_{\alpha}\left( t\right) \rig...... t\right) -f\left( \tau\right) \right\vert g_{\alpha}\left(t-\tau\right) d\tau$$. Dobierając  tak małe, by dla $\left\vert t-\tau\right\vert <\alpha$ na mocy jednostajnej ciągłości funkcji  zachodziła nierówność $\left\vert f\left( t\right) -f\left( \tau\right) \right\vert<\varepsilon$ otrzymujemy tezę, gdyż $$\left\vert f\left( t\right) -\varphi_{\alpha}\left( t\right) \rig......limits_{t-\alpha}^{t+\alpha}}g_{\alpha}\left( t-\tau\right) d\tau=\varepsilon$$

D e f i n i c j a

Przestrzenią dystrybucji $D^{\prime}$ nazywamy przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych na D (względem zbieżności określonej w poprzedniej definicji).
 

W przestrzeni $D^{\prime}$ określamy zbieżność jak następuje. Niech $T_{n}$, $T\in D^{\prime}$ (oznaczamy równoważnie$T\left( \varphi\right) =\left\langle T\vert\varphi\right\rangle$).
 

D e f i n i c j a

$T_{n}\rightarrow T$ w $D^{\prime}\Leftrightarrow\forall\varphi\in D$$\Rightarrow T_{n}\left( \varphi\right) \rightarrow T\left( \varphi\right)$
 

T w i e r d z e n i e

Przestrzeń$D^{\prime}$ jest domknięta ze względu na zbieżność (tzn. granica ciągu funkcjonałów liniowych i ciągłych jest funkcjonałem liniowym i ciągłym).
 

Spośród wszystkich dystrybucji szczególnie wyróżniamy tzw. dystrybucje regularne. Są to dystrybucje wyznaczone przez funkcje lokalnie całkowalne. Niech $f$ będzie funkcją lokalnie całkowalną na$\mathbb{R}$, a więc funkcją, dla której istnieje całka oznaczona po dowolnym przedziale skończonym z funkcji $\left\vert f\left(t\right) \right\vert$.

D e f i n i c j a

Dystrybucją regularną wyznaczoną przez lokalnie całkowalną funkcję $f$ nazywamy dystrybucję określoną wzorem

$$\left\langle f\vert\varphi\right\rangle =%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t\right) \varphi\left( t\right) dt$$ dla $\varphi\in D$.

Poprawność tej definicji (ciągłość funkcjonału) wynika z oszacowania

$$\left\vert \left\langle f\vert\varphi\right\rangle -\left\langle ...... t\right)-\varphi_{n}\left( t\right) \right\vert dt\leq M_{K}\cdot\varepsilon$$ gdzie $K$ jest zbiorem zwartym, w którym zawarte są nośniki wszystkich funkcji $\varphi_{n}$, .

Wiele własności dystrybucji i pojęć z nimi związanych wprowadza się w ten sposób, by były one uogólnieniem własności dystrybucji regularnych. Dotyczy to przede wszystkim różniczkowania dystrybucji, pojęcia równości dystrybucji na zbiorze otwartym (mimo, że dystrybucja nie jest funkcją mającą określoną wartość w każdym punkcie) oraz pojęcia nośnika dystrybucji.
 

Rozważmy na początek funkcję lokalnie całkowalną $f$, której pochodna $f^{\prime}$ jest także funkcją lokalnie całkowalną. Niech $\varphi\in D$ będzie taka, że$\operatorname*{supp}\varphi\subset K=\left[ a,b\right]$- zwarty. Wówczas ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy

$$%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f^{\prime}\left......imits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t\right) \varphi^{\prime}\left( t\right) dt$$ co pozwala przyjąć następującą definicję różniczkowania w przestrzeni $D^{\prime}$.
 

D e f i n i c j a

Pochodną dystrybucji$T\in D^{\prime}$ nazywamy dystrybucję$T^{\prime}=DT$ określoną wzorem

$$\left\langle T^{\prime}\vert\varphi\right\rangle =-\left\langle T\vert\varphi^{\prime }\right\rangle%%$$ (8.1)

dla $\varphi\in D$ (w ten sposób każda dystrybucja, a więc i każda funkcja lokalnie całkowalna, ma pochodną). Pochodną tą nazywamy pochodną w sensie dystrybucyjnym.

W przypadku wielowymiarowym powyższą definicję modyfikujemy do wzoru

$$\left\langle D^{\alpha}T\vert\varphi\right\rangle =\left( -1\righ......{\left\vert \alpha\right\vert }\left\langle T\vert D^{a}\varphi\right\rangle%%$$ (8.2)

gdzie  jest wielowskaźnikiem $\alpha=\left( \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}\right)$, $\left\vert \alpha\right\vert =\alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}$, zaś

$$D^{\alpha}\varphi=\frac{\partial^{\left\vert \alpha\right\vert }}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\varphi.%%$$ (8.3)

D e f i n i c j a

Dystrybucje $T_{1}$,$T_{2}\in D^{\prime}$ są równe na zbiorze otwartym$A\subset\mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek

$$\forall\varphi\in D\ \operatorname*{supp}\varphi\subset A\Rightar......T_{1}\vert\varphi\right\rangle =\left\langle T_{2}\vert\varphi\right\rangle .$$

D e f i n i c j a

Nośnikiem dystrybucji$T\in D^{\prime}$ nazywamy najmniejszy zbiór domknięty $F\subset R$ taki, że $T=0$ na $F^{\prime}$ w sensie poprzedniej definicji.

Spośród wszystkich dystrybucji wyrózniamy tzw. dystrybucje skończonego rzędu będące pochodnymi dystrybucyjnymi funkcji ciągłych.

D e f i n i c j a

Dystrybucję $T\in D^{\prime}$ nazywamy dystrybucją skończonego rzędu wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja $h\left(t\right)$ ciągła na $\mathbb{R}$ oraz liczba naturalna $k$ taka, że $T=D^{k}h$. Najmniejszą liczbę $k$ o tej własności nazywamy rzędem dystrybucji T.

T w i e r d z e n i e

Każda dystrybucja $T\in D^{\prime}$ jest lokalnie dystrybucją skończonego rzędu tzn., że dla ustalonego ograniczonego lecz dowolnego przedziału $\left( a,b\right) \subset\mathbb{R}$ istnieje $h\inC\left( a,b\right)$, $k\geq0$ taka, że $\forall\varphi\in D$$\operatorname*{supp}\varphi\subset\left( a,b\right)$ zachodzi

$$\left\langle T\vert\varphi\right\rangle =\left( -1\right) ^{k}<te......t( k\right) }\left( t\right) dt=\left\langle D^{k}h\vert\varphi\right\rangle%%$$ (8.4)

(dla dystrybucji skończonego rzędu równość powyższa zachodzi dla wszystkich $\varphi\in D$ - bez żadnych dodatkowych ograniczeń co do nośnika ).
 

T w i e r d z e n i e
Niech $f$ będzie lokalnie całkowalna na $\mathbb{R}$. Niech $h\left(t\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{t}}f\left( \tau\right) d\tau$. Wówczas $f=Dh$ (w sensie dystrybucyjnym).

W teorii całki Lebesgue'a dowodzi się, że $h\left(t\right)$ jest różniczkowalna prawie wszędzie (tzn. ewentualnie poza zbiorem miary zero) i prawie wszędzie $h^{\prime}\left( t\right)=f\left( t\right)$. W takim razie mamy na mocy wzoru na całkowanie przez części

$$=-\left\langle h\vert\varphi^{\prime }\right\rangle =-<tex2html_c......yle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} f\left( t\right) \varphi\left( t\right) dt=$$

$$=\left\langle f\vert\varphi\right\rangle Dh=f$$

Ponieważ $h$ jest ciągła, więc $f$ jest skończonego rzędu (0 - gdy $f$ ciągła, 1 - w przeciwnym razie).

Przykłady dystrybucji skończonego rzędu

P r z y k ł a d   1

Niech

$$h\left( t\right) =\left\{\begin{array}[c]{rl}%%0 & \text{dla }t<0\\t & \text{dla }t\geq0\end{array}\right.$$ Wówczas $Dh=1_{+}$, gdzie $1_{+}$ jest funkcją skoku jednostkowego (funkcją Heavyside'a) określoną jako $$1_{+}\left( t\right) =\left\{\begin{array}[c]{rl}%%0 & \text{dla }t<0\\1 & \text{dla }t\geq0\end{array}\right. .$$ Obliczając z definicji pochodną $Dh$ otrzymujemy

$$=-\left\langle h\vert\varphi^{\prime }\right\rangle =-<tex2html_c......t_mark>1175 {\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}} \varphi\left( t\right) dt=$$

$$=<tex2html_comment_mark>1179 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^......ght) dt=\left\langle 1_{+}<tex2html_comment_mark>1183 \vert\varphi\right\rangle Dh=1_{+}%%$$

P r z y k ł a d   2

Niech $\delta=D1_{+}=D^{2}h$. Obliczmy wartość $\left\langle\delta\vert\varphi\right\rangle$.

$$\left\langle \delta\vert\varphi\right\rangle =\left\langle D1_{+}......-\varphi\left(\infty\right) }}+\varphi\left( 0\right) =\varphi\left( 0\right)$$ Dystrybucja $\delta$ zwana jest tzw. deltą Diraca. Nie jest ona dystrybucją regularną, ponieważ nie istnieje funkcja lokalnie całkowalna$f$ taka, że $\forall\varphi\in D$ zachodzi $%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t\right) \varphi\left( t\right) dt=\varphi\left( 0\right)$, jest ona jednakże dystrybucją skończonego rzędu, jej rząd równy jest 2.

P r z y k ł a d   3

Dystrybucje $\delta^{\left( n\right) }=D^{n}\delta=D^{n+2}h$ (pochodne delty Diraca) są także dystrybucjami skończonego ($n+2$ - go) rzędu. Korzystając z definicji obliczamy natychmiast, że

$$\left\langle \delta^{\left( n\right) }\vert\varphi\right\rangle =......}\right\rangle=\left( -1\right) ^{n}\varphi^{\left( n\right) }\left( 0\right)$$