Spis rzeczy

Subsections

• Własności splotu dystrybucji

Splot dystrybucji z przestrzeni D' 

D e f i n i c j a

Niech $T_{1}=D^{k_{1}}h_{1}$, $T_{2}=D^{k_{2}}h_{2}\in D_{0}^{\prime}$. Wówczas określamy splot

$$T_{1}\ast T_{2}=D^{k_{1}+k_{2}}\left[ h_{1}\ast h_{2}\right]$$.

Powyższa definicja jest poprawna, ponieważ splot funkcji ciągłych prawostronnych $h_{1}$ i $h_{2}$ jest funkcją ciągłą prawostronną posiadającą transformatę Laplace'a (tw. Borela), zatem $T_{1}\ast T_{2}\in D_{0}^{\prime}$. W przypadku, gdy$T_{1}$ i $T_{2}$ są generowane przez funkcje lokalnie całkowalne $f_{1}$ i $f_{2}$, to powyższa definicja jest równoważna definicji klasycznej.

Istotnie, w tym przypadku niech $h_{1}=f_{1}\ast1$, $h_{2}=f_{2}\ast1$, tzn.$T_{1}=Dh_{1}$, $T_{2}=Dh_{2}$. Wtedy zgodnie z powyższą definicją

$$T_{1}\ast T_{2}=D^{2}\left[ f_{1}\ast1\ast f_{2}\ast1\right] =D^{......1\right] =D\left[ \left( f_{1}\astf_{2}\right) \ast1\right] =f_{1}\ast f_{2}.$$

T w i e r d z e n i e (Borela dla dystrybucji)

Niech $T_{1}$, $T_{2}\in D_{0}^{\prime}$ mają transformaty Laplace'a równe odpowiednio $F_{1}\left( s\right)$, $F_{2}\left( s\right)$. Wówczas

$$L\left\{ T_{1}\ast T_{2}\right\} \left( s\right) =F_{1}\left( s\right)F_{2}\left( s\right)$$

Dla dowodu niech $T_{1}=D^{k_{1}}h_{1}$, $T_{2}=D^{k_{2}}h_{2}$. Wtedy

$$L\left\{ T_{1}\ast T_{2}\right\} \left( s\right) =L\left\{ D^{k_{1}+k_{2}} \left[ h_{1}\ast h_{2}\right] \right\} ......ela}}{\underbrace{=}}s^{k_{1}+k_{2}}H_{1}\left( s\right) H_{2}\left( s\right) =$$

$$=\underset{F_{1}\left( s\right) }{\underbrace{s^{k_{1}}H_{1}\left......ent_mark>1329 H_{2}\left( s\right) }}=F_{1}\left( s\right) F_{2}\left( s\right)$$

 

Własności splotu dystrybucji

Omówimy teraz najważniejsze własności splotu dystrybycji, związane z różniczkowaniem i dystrybucją delta Diraca.
 

W ł a s n o ś ć   1 (splot z dystrybucją delta)

Ponieważ $\delta=D^{2}\left[ 1\ast1\right]$, zatem dla dowolnej dystrybucji $T\in D_{0}^{\prime}$ zachodzi

$$T\ast\delta=D^{k+2}\left[ h\ast1\ast1\right] =D^{k+1}\left[ h\ast1\right] =D\left[ h\right] =T%%$$ (9.1)

co oznacza, że delta jest jedynką algebry dystrybucji.
 

W ł a s n o ś ć   2 (splot z dystrybucją$\delta^{\left( n\right) })$

Podobnie jak w poprzednim przypadku zapisujemy $\delta^{\left( n\right)}=D^{n+2}\left[ 1\ast1\right]$, więc

$$T\ast\delta^{\left( n\right) }=D^{k+n+2}\left[ h\ast1\ast1\right] =D^{n}D^{k}h=D^{n}T,%%$$ (9.2)

zatem splot z dystrybucją $\delta^{\left( n\right) }$ jest różniczkowaniem. Pozwala to zapisać równanie różniczkowe w przestrzeni dystrybucji

$$c_{n}D^{n}y+c_{n-1}D^{n-1}y+...+c_{1}Dy+c_{0}y=f%%$$ (9.3)

w równoważnej postaci splotowej

$$\left( c_{n}\delta^{\left( n\right) }+c_{n-1}\delta^{\left( n-1\right) }+...+c_{1}\delta^{\prime}+c_{0}\delta\right) \ast y=f$$ (9.4)

 

W ł a s n o ś ć   3 (różniczkowanie dystrybucyjne splotu)

Jeżeli $T_{1}$, $T_{2}\in D_{0}^{\prime}$, to wykorzystując własność 2 możemy napisać

$$D^{m}\left( T_{1}\ast T_{2}\right) =T_{1}\ast T_{2}\ast\delta^{\l......D^{m}T_{2}}{\underbrace{\left( T_{2}\ast\delta^{\left( m\right) }\right) }}%%$$ co oznacza, że

$$D^{m}\left( T_{1}\ast T_{2}\right) =\left( D^{m}T_{1}\right) \ast T_{2}=T_{1}\ast\left( D^{m}T_{2}\right)$$ (9.5)

 

W ł a s n o ś ć   4 (własność rozwiązania podstawowego)

Jeżeli $y_{\delta}$ jest taką dystrybucją, że $L\left[y_{\delta}\right] =\delta$, gdzie $L$ jest operatorem różniczkowym określonym wzorem

$$L\left[ y\right] =c_{n}D^{n}y+c_{n-1}D^{n-1}y+\ldots+c_{1}Dy+c_{0}y$$, to na mocy wzorów (9.5) i (9.1) możemy napisać, że

$$L\left[ y_{\delta}\ast f\right] =L\left[ y_{\delta}\right] \ast f=\delta\ast f=f$$ (9.6)

Dystrybucję $y_{\delta}$ taką, że $L\left[y_{\delta}\right] =\delta$ nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania $L\left[y\right] =f$.