Spis rzeczy

Subsections

• Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych
• Najważniejsze własności i przykłady transformat Fouriera

Przestrzeń dystrybucji temperowanych

D e f i n i c j a

Przestrzenią funkcji szybkomalejących nazywamy zbiór funkcji klasy$C^{\infty}$ spełniających dla $\left\vert t\right\vert\rightarrow\infty$, dowolnych n, k naturalnych, nierówności

$$\left\vert t^{n}\varphi^{\left( k\right) }\right\vert \leq c_{n,k}%%$$ (9.7)

dla pewnych stałych $c_{n,k}$ (zależnych tylko od n i k). Przestrzeń funkcji szybkomalejących oznaczamy symbolem $\Phi$.

Powyższy warunek oznacza, że dowolna pochodna funkcji  dąży do zera w nieskończoności szybciej niż dowolna potęga $\frac{1}{\left\vert t\right\vert }$.

U w a g a

Zachodzi oczywista inkluzja $D\subset\Phi$, bowiem każda funkcja o nośniku zwartym jest szybkomalejąca. Co więcej, rozważając przykład funkcji $\varphi\left( t\right) =e^{-t^{2}}\in\Phi$ łatwo zauważyć, że $\varphi\notin D$, zatem $D\varsubsetneq\Phi$.

D e f i n i c j a

Mówimy, że ciąg funkcji $\varphi_{n}\in\Phi$ zbiega do $\varphi\in\Phi$ wtedy i tylko wtedy gdy $\forall m,k\in N$$\Rightarrow$$t^{m}\varphi_{n}^{\left( k\right) }\rightrightarrows t^{m}\varphi^{\left( k\right) }$ (zb. jednostajna)

D e f i n i c j a

Dystrybucją wolnorosnącą (temperowaną) nazywamy funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni $\Phi$. Zbiór dytrybucji wolnorosnących oznaczamy $\Phi^{\prime}$.
 

U w a g a

Oczywiście jeżeli $f\in\Phi^{\prime}$, to $f\in D^{\prime}$, zatem$\Phi^{\prime}\subset D^{\prime}$. Rozważając przykład dystrybucji określonej wzorem

$$f=<tex2html_comment_mark>1364 {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} e^{n^{2}}\delta\left( t-n\right) \left\langle f\vert\varphi\right\rangle =<tex2html_comment_mark>1368 {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} e^{n^{2}}\varphi\left( n\right)%%$$ (9.8)

widać, że jest ona poprawnie zdefiniowana dla $\varphi\in D$ (odpowiednia suma jest skończona, bowiem nośnik  jest zwarty), natomiast nie jest określona np. dla $\varphi\left( t\right) =e^{-t^{2}}\in\Phi$ (otrzymujemy nieskończony szereg rozbieżny $\sum1$). W takim razie $\Phi^{\prime}\varsubsetneq D^{\prime}$.

Przyjęcie powyższej definicji dystrybucji temperowanej jest uzasadnione tym, że w przypadku funkcji klasycznych (dystrybucji regularnych) dla uzyskania zbieżności całki postaci

$$%%{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f\left( t\right) \varphi\left( t\right) dt$$, gdzie $\varphi\in\Phi$ należy np. założyć, że dla pewnego$N$ zachodzi warunek $\lim\limits_{\left\vert t\right\vert \rightarrow\infty}\left\vertt\right\vert ^{-N}f\left( t\right) =0$. Funkcje takie nazywamy wolnorosnącymi. Każda wolnorosnąca funkcja wyznacza dystrybucję wolnorosnącą.

Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych

W teorii przekształcenia Fouriera dowodzi się następującego twierdzenia.
 

T w i e r d z e n i e (równość Parsevala)

Niech $g_{1}$, $g_{2}$ będą bezwzględnie całkowalne na $R$. Niech $G_{1}=\Im g_{1}$, $G_{2}=\Im g_{2}$. Wówczas zachodzi równość

$$<tex2html_comment_mark>1382 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{......nfty}^{+\infty}} G_{1}\left( \omega\right) g_{2}\left( \omega\right) d\omega%%$$ (9.9)

 

Przekształcając lewą stronę wzoru (9.9) otrzymujemy

$$<tex2html_comment_mark>1391 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} g_{1}\left( u\right) G_{2}\left( u\right) du =<tex2html_comment_mark>1395 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^......fty}^{+\infty}} g_{1}\left( u\right) g_{2}\left( \omega\right) e^{-iu\omega}du=$$

$$=<tex2html_comment_mark>1411 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^......-\infty}^{+\infty}} G_{1}\left( \omega\right) g_{2}\left( \omega\right) d\omega$$

co kończy dowód.
 

Opierając się na powyższym twierdzeniu obowiązującym dla funkcji klasycznych (dystrybucji regularnych) wprowadzamy definicję transformaty Fouriera dystrybucji temperowanych.
 

D e f i n i c j a

Dla $f\in\Phi^{\prime}$ określamy

$$\left\langle \Im f\vert\varphi\right\rangle =\left\langle f\vert\Im\varphi \right\rangle%%$$ (9.10)

dla $\varphi\in\Phi^{\prime}$.

Następujące dwa twierdzenia uzasadniają poprawność przyjętej definicji.
 

T w i e r d z e n i e

Jeśli $\varphi\in\Phi$, to $F=\Im\varphi\in\Phi$. Ponadto $\Im:\Phi\rightarrow\Phi$ jest ciągła.
 

Dla dowodu zauważmy, że jeśli $\varphi\in\Phi$, to  jest całkowalna na $R$, zatem $F=\Im\varphi$ istnieje. Ze wzorów na transformatę Fouriera funkcji całkowalnych wynika, że o ile$t^{k}\varphi\left( t\right)$ jest całkowalna (a tak jest dla funkcji$\varphi\in\Phi$), to istnieje pochodna $F^{\left( k\right) }$ i zachodzi

$$F^{\left( k\right) }\left( \omega\right) =%%{\displaystyle\int\l......nfty}^{+\infty}}\left( -it\right) ^{k}e^{-i\omega t}\varphi\left( t\right) dt$$ Łatwo zauważyć, że stosując m-krotnie wzór na całkowanie przez części otrzymujemy $$\left\vert \left( i\omega\right) ^{m}F^{\left( k\right) }\left(\...... \left( -it\right) ^{k}\varphi\left(t\right) \right] \right\vert dt\leq Const$$ Istnienie stałej $Const$ wynika z definicji przestrzeni $\Phi$, której elementem jest . Oznacza to, że $F=\Im\varphi$ jest także funkcją szybkomalejącą. Ciągłość $\Im$ jako odwzorowania liniowego wynika z ciągłości w zerze.
 

T w i e r d z e n i e

Jeśli $f\in\Phi^{\prime}$, to jej transformata Fouriera $\Im f\in\Phi^{\prime}$.
 

Wystarczy wykazać, że $\Im f$ jest liniowa i ciągła. Liniowość jest oczywista - wynika wprost z przyjętej definicji. Ciągłość wynika z ciągłości transformaty Fouriera dla funkcji szybkomalejących i ciągłości $f$, ponieważ o ile$\varphi_{n}\rightarrow0$ w $\Phi$, to

$$\left\langle \Im f\vert\varphi_{n}\right\rangle =\left\langle f\vert\Im\varphi_{n}\right\rangle \rightarrow\left\langle f\vert\right\rangle =0$$ co kończy dowód.

Najważniejsze własności i przykłady transformat Fouriera

Niech $F=\Im f$ dla $f\in\Phi^{\prime}$. Wówczas można sformułować następujące własności - analogiczne do wzorów z teorii klasycznej.

1. $\Im\left[ \left( -it\right) ^{k}f\left( t\right) \right]=F^{\left( k\right) }\left( \omega\right)$.

Istotnie, korzystając z definicji transformaty i definicji mnożenia dystrybucji przez funkcje gładkie otrzymujemy dla k=1 (a potem dalej stosujemy indukcję)

$$\left\langle F^{\prime}\vert\varphi\right\rangle =\left\langle F\vert-\varphi ^{\prime}\right\rangle =\left\langle......fty}} e^{-i\omega t}\varphi^{\prime}\left( \omega\right) d\omega\right\rangle =$$

$$=\left\langle f\vert-it{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\inf......e =\left\langle \Im\left[ -itf\left( t\right) \right] \vert\varphi\right\rangle$$

zatem $\Im\left[ -tf\left( t\right) \right] =F^{\prime}$.

2. $\Im\left[ D^{k}f\right] =\left( i\omega\right) ^{k}F\left(\omega\right)$ - dowód podobnie jak w poprzednim przypadku.

 

$$\left\langle \Im D^{k}f\vert\varphi\right\rangle =\left\langle D^{k}<tex2html_comment_mark>1455 f\vert\Im\varphi\r......t\Im\left[ \left( -it\right) ^{k}\varphi\left( t\right) \right] \right\rangle =$$

$$=\left\langle \Im f\vert\left( it\right) ^{k}\varphi\left( t\righ......\left( it\right) ^{k}F\left( t\right) \vert\varphi\left( t\right) \right\rangle$$

3. $\Im\left[ f\left( t-\tau\right) \right] \left( \omega\right)=e^{-i\omega\tau}F\left( \omega\right)$ - analogicznie z definicji operatora przesunięcia $\tau_{b}$.
4. Niech $f=\delta^{\left( k\right) }\left( t-\tau\right)$. Wówczas

 

$$\left\langle \Im\delta^{\left( k\right) }\left( t-\tau\right) \vert\varphi\right\rangle =\left\langle \delta^{\left( k\right) }\left( t-\tau\right) \vert...... -1\right) ^{k}\left( \Im\varphi\right) ^{\left( k\right) }\left( \tau\right) =$$

$$=\left( -1\right) ^{k}\Im\left[ \left( -it\right) ^{k}\varphi\left( t\right) \right] \left( \tau\right) =$$

$$=<tex2html_comment_mark>1458 {\displaystyle\int\limits_{-\infty}^......angle \left( it\right) ^{k}e^{-it\tau}\vert\varphi\left( t\right) \right\rangle$$

$$\Im\delta^{\left( k\right) }\left( t-\tau\right) =\left( it\right) ^{k}e^{-it\tau}$$

Wynika stąd, że w szczególności

$$\Im\delta=1$$, $$\Im\delta\left( t-\tau\right) =e^{-i\omega\tau}$$, $$\Im\delta^{\left( k\right) }=\left( it\right) ^{k}$$.
5. Jeśli $f\left( t\right) =1$, to $\Im\left[ 1\right] =2\pi\delta$, ponieważ
$$\left\langle \Im\left[ 1\right] \vert\varphi\right\rangle =\left\......dt=2\pi\varphi\left( 0\right)=\left\langle 2\pi\delta\vert\varphi\right\rangle$$.
6. $\Im\left[ e^{-it\tau}\right] =2\pi\delta\left( \omega+\tau\right)$ - dowód analogiczny jak w przypadku poprzednim, gdyż

 

$$\left\langle \Im\left[ e^{-it\tau}\right] \vert\varphi\right\rangle =\left\langle e^{-it\tau}\vert\Im\varphi\right\rangle =<tex2html_......it\omega}\varphi\left( \omega\right) d\omega}}=2\pi\varphi\left( -\tau\right) =$$

$$=\left\langle 2\pi\delta\left( \omega+\tau\right) \vert\varphi\right\rangle$$

7. $\Im\left[ \left( it^{k}\right) \right] =\left( -1\right) ^{k}%%2\pi\delta^{\l......tarrow\Im\left[ t^{k}\right]=2\pi\left( i\right) ^{k}\delta^{\left( k\right) }$ - analogicznie.
8. $\Im\left[ \left( it\right) ^{k}e^{-it\tau}\right] =\left(-1\right) ^{k}2\pi\delta^{\left( k\right) }\left( \omega+\tau\right)$ - j. w.
9. $\Im\left[ a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_{1}t+a_{0}\right]=2\pi\left[ a_{n}i......n\right) }+a_{n-1}i^{n-1}%%\delta^{\left( n-1\right) }+...+a_{0}\delta\right]$.
10. Lemat

Zachodzi tożsamość

$$<tex2html_comment_mark>1484 {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}......isplaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} \delta\left( \lambda-2n\pi\right)$$ (9.11)

Dowód
Niech $\varphi\in\Phi$. Wówczas

$$\left\langle {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} e^{-in\lambda}\vert\varphi\left( \lambda\right) \right\rangle =<tex2html_comment_mark>1496 {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty......^{\left( 2k+1\right) \pi}} e^{-in\lambda}\varphi\left( \lambda\right) d\lambda=$$

$$=\left\vert \begin{array}[c]{l}<tex2html_comment_mark>1513 \lambd......ts_{-\pi}^{+\pi}} e^{-in\left( r+2k\pi\right) }\varphi\left( r+2k\pi\right) dr=$$

$$=\left\vert \text{niech }\varphi_{k}\left( r\right) =\varphi\left......{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}} e^{-inr}\varphi_{k}\left( r\right) dr=$$

$$=<tex2html_comment_mark>1535 {\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty......n=-\infty}^{+\infty}} e^{in\left( -2k\pi\right) }c_{n}\left( \varphi_{k}\right)$$

gdzie $c_{n}\left( \varphi_{k}\right) =\frac{1}{2\pi}%%{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}e^{-inr}\varphi_{k}\left( r\right) dr$ są współczynnikami Fouriera funkcji $\varphi_{k}$. Wyrażenie $%%{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}e^{in\left( -2k\pi\right) }c_{n}\left( \varphi_{k}\right)$ jest wartością sumy szeregu Fouriera tej funkcji w punkcie $r_{k}=-2k\pi$, a zatem z okresowości tej sumy mamy

$$%%{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}e^{in\left( -......{k}\left( -2k\pi\right) =\varphi_{k}\left( 0\right) =\varphi\left(2k\pi\right)$$. Wynika stąd, że $$%%{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}2\pi {\displa......\infty}^{+\infty}}\delta\left( \lambda-2k\pi\right) \vert\varphi\right\rangle$$ co kończy dowód.
11. (Wzór sumacyjny Poissona)

Niech $\varphi\in\Phi$,$F=\Im\varphi$. Wówczas zachodzi

$$<tex2html_comment_mark>1577 {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} F\left( n\right) =\left\langle {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} \d......y}^{+\infty}} \delta\left( \lambda-n\right) \right] \vert\varphi\right\rangle =$$

$$=\left\langle {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} e^......infty}^{+\infty}} \delta\left( \lambda-2n\pi\right) \vert\varphi\right\rangle =$$

$$=2\pi {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} \varphi\left( 2n\pi\right)$$

Udowodniony został zatem wzór

$$<tex2html_comment_mark>1599 {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}......\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} \varphi\left( 2n\pi\right) .%%$$ (9.12)

12. (Tożsamość Jacobiego)

Niech $\varphi\left(x\right) =e^{-tx^{2}}$ dla t>0. Wtedy $F\left( x\right) =\left(\Im\varphi\right) \left( x\right) =\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{-\frac{x^{2}}%%{4t}}$. Stosując wzór sumacyjny Poissona otrzymujemy $$\sqrt{\frac{\pi}{t}}%%{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\i......{4t}}=2\pi {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}e^{-4t\pi^{2}n^{2}}$$. Podstawiając $t=\frac{\tau}{4\pi^{2}}$ dostajemy inną postać tej tożsamości

$$\sqrt{\frac{\pi}{\tau}}<tex2html_comment_mark>1618 {\displaystyle......t_mark>1622 {\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}} e^{-\tau n^{2}}%%$$ (9.13)