Spis rzeczy

Ortogonalność, twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Niech $X$ będzie przestrzenią unitarną.

D e f i n i c j a

Elementy $x,y\in X$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy$\left( x,y\right) =0$ (oznaczamy $x\perp y$).

U w a g a

Jeśli $x\perp y$, to

$$\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}$$ (10.12)

Z definicji normy i ortgonalności elementów $x$, $y$ wynika, że

$$\Vert x+y\Vert^{2} =\left( x+y,x+y\right) =\left( x,x\right) +\left( x,y\right) +\left( y,x\right) +\left( y,y\right) =$$

$$=\left( x,x\right) +\left( y,y\right) =\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$$

Niech $X_{0}\subset X$ będzie podprzestrzenią liniową $X$.

D e f i n i c j a

Mówimy, że element $x\in X$ jest ortogonalny do podprzestrzeni$X_{0}$ (oznaczamy $x\perp X_{0}$) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu $y\in X_{0}$ zachodzi $x\perp y$.

T w i e r d z e n i e (o rzucie ortogonalnym)

Niech $X_{0}$ będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta $X$. Wtedy każdy element $x\in X$ da się przedstawić w postaci

$$x=x_{0}+z x_{0}\in X_{0} z\perp X_{0}%%$$ (10.13)

przy czym rozkład ten jest jednoznaczny.

Element $x_{0}$ nazywa się rzutem ortogonalnym elementu $x$ na podprzestrzeń $X_{0}$.

Można udowodnić, że z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika następujący wniosek.

T w i e r d z e n i e

Niech $X_{0}\subset X$ będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta $X$. Jeżeli $x_{0}$ jest rzutem ortogonalnym elementu $x$ na $X_{0}$, to

$$\Vert x-x_{0}\Vert\leq\Vert x-y\Vert%%$$ (10.14)

dla każdego $y\in X_{0}$. Powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy $y=x_{0}$.

D e f i n i c j a

Mówimy, że ciąg $\left( a_{n}\right)$ elementów przestrzeni Hilberta $X$generuje przestrzeń$X$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów $a_{1},a_{2}%%,\ldots,a_{n}$ jest gęsty w $X$ (tzn. każdy element przestrzeni $X$ może być przybliżony z dowolną dokładnością przez kombinację liniową elementów $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$.)

T w i e r d z e n i e

Ciąg $\left( a_{n}\right)$ elementów przestrzeni Hilberta $X$ generuje przestrzeń $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem ortogonalnym do wszystkich elementów $a_{n}$ jest $x=0.$