Spis rzeczy

Subsections

• Przykłady układów ortonormalnych

Układy ortonormalne w przestrzeniach Hilberta

W teorii przestrzeni Hilberta wielką rolę odgrywają tzw. układy ortogonalne i uklady ortonormalne. Pozwalają one znajdować rozwinięcia elementów przestrzeni Hilberta na szeregi względem tych układów.

D e f i n i c j a

Układem ortogonalnym w przestrzeni Hilberta $X$ nazywamy zbiór$Z\subset X$ taki, że dla każdego $x$, $y\in Z$, $x\neq y$ zachodzi$\left( x,y\right) =0$.

D e f i n i c j a

Układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta $X$ nazywamy układ ortogonalny $Z\subset X$ taki, że dla każdego $x\in Z$ zachodzi$\Vert x\Vert=1$.

T w i e r d z e n i e

Niech $\left( a_{k}\right)$ będzie dowolnym ciągiem liniowo niezależnych elementów przestrzeni Hilberta $X$. Istnieje wtedy w przestrzeni $X$ układ ortonormalny $\left( e_{k}\right)$ taki, że

$$\operatorname*{lin}\left( e_{1},e_{2},\ldots,e_{m}\right)=\operatorname*{lin}\left( a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$$    dla$$m=1,2,\ldots$$, gdzie $\operatorname*{lin}\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}\right)$ oznacza przestrzeń liniową wszystkich kombinacji liniowych elementów$x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$.
 

Dla dowodu wystarczy zastosować tzw. procedurę ortonormalizacji

$$e_{1} =\frac{a_{1}}{\Vert a_{1}\Vert}$$

$$e_{2} =\frac{x_{2}}{\Vert x_{2}\Vert} x_{2}=a_{2}-\left( a_{2},e_{1}\right) e_{1}$$

$$e_{m} =\frac{x_{m}}{\Vert x_{m}\Vert} x_{m}=a_{m}-<tex2html_comment_mark>1745 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{m-1}} \left( a_{m},e_{k}\right) e_{k}$$ (10.15)

z której bezpośrednio wynika, że $\left( e_{k}\right)$ jest układem ortonormalnym spełniającym tezę twierdzenia.

Przykłady układów ortonormalnych

1. Niech $X=l^{2}$ - zbiór ciągów nieskończonych $\left( \xi_{k}\right)$ takich, że szereg $%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}\left\vert \xi_{k}\right\vert ^{2}$ jest zbieżny, z iloczynem skalarnym $\left(\left( \xi_{k}\right) ,\left( \eta_{k}\right) \right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}\xi_{k}\eta_{k}$.

Wówczas elementy $e_{n}$, gdzie $$e_{n}=\left( 0,\ldots,0,\underset{n}{1},0.\ldots\right)$$ tworzą układ ortonormalny w $X$.
2. Niech $X=L^{2}\left( \left[ 0;2\pi\right] \right)$ (przestrzeń funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem).

Ciąg funkcji

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos kx \frac {1}{\sqrt{\pi}}\sin kx k=1,2,\ldots%%$$ (10.16)

tworzy układ ortonormalny w tej przestrzeni.
3. Niech $X=L^{2}\left( \left[ 0;2\pi\right] \right)$ (przestrzeń funkcji zespolonych całkowalnych z kwadratem).

Ciąg funkcji $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$$ dla $$k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$ tworzy układ ortonormalny w tej przestrzeni ($e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx$).