Spis rzeczy

Normy równoważne w przestrzeniach Sobolewa

W praktycznych rozważaniach dotyczących rozwiązalności zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych cząstkowych dużą wagę odgrywa możliwość wprowadzenia norm w przestrzeniach Sobolewa, które są równoważne normie standardowej i jednocześnie są postaci umożliwiającej bezpośrednie zastosowanie do tych zagadnień. Możliwości te dają tzw. nierówność Friedrichsa i nierówność Poincaré.
 
 

T w i e r d z e n i e (nierówność Friedrichsa)

Niech $\Omega$ będzie obszarem z brzegiem Lipschitza $\partial\Omega=\Gamma$. Wówczas istnieje stała k>0 zależna tylko od obszaru $\Omega$ taka, że dla każdej funkcji $f\in H^{1}\left( \Omega\right)$ zachodzi nierówność

$$\Vert f\Vert_{1,2}^{2}\leq k\left( {\displaystyle\sum\limits_{i=1......\displaystyle\int\limits_{\Gamma}} f_{\vert\Gamma}^{2}\left( s\right) ds\right)$$ (11.10)

gdzie wartości funkcji f na brzegu obszaru $\Omega$ rozumiane są w sensie śladu.

Nierówność Friedrichsa (11.10) może być uogólniona w sposób następujący.
 

T w i e r d z e n i e

Niech $\Omega$ będzie obszarem z brzegiem Lipschitza $\partial\Omega=\Gamma$ i niech $\Gamma_{1}\subset\Gamma$ będzie podzbiorem o mierze dodatniej $\left\vert \Gamma_{1}\right\vert >0$. Wówczas istnieje stał a k>0 zależna tylko od obszaru $\Omega$ i $\Gamma_{1}$ taka, że dla każdej funkcji $f\in H^{1}\left( \Omega\right)$ zachodzi nierówność

$$\Vert f\Vert_{1,2}^{2}\leq k\left( {\displaystyle\sum\limits_{i=1......style\int\limits_{\Gamma_{1}}} f_{\vert\Gamma_{1}}^{2}\left( s\right) ds\right)$$ (11.11)

T w i e r d z e n i e (nierówność Poincaré)

Niech $\Omega$ będzie obszarem z brzegiem Lipschitza. Istnieje wówczas stała k>0 zależna tylko od obszaru $\Omega$ taka, że dla każdej funkcji $f\in H^{m}\left( \Omega\right)$ zachodzi nierówność

$$\Vert f\Vert_{m,2}^{2}\leq k\left( {\displaystyle\sum\limits_{\le......m}} \left( {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} D^{\alpha}fdx\right) ^{2}\right)$$ (11.12)