Spis rzeczy

Eliptyczne operatory różniczkowe rzędu parzystego

Będziemy rozważać operatory różniczkowe postaci

$$A=<tex2html_comment_mark>1988 {\displaystyle\sum\limits_{\left\ve...... k}} \left( -1\right) ^{\left\vert i\right\vert }D^{i}\left( a_{ij}D^{j}\right)$$ (12.1)

gdzie $i$ oraz $j$ są wielowskaźnikami, $a_{ij}\in C^{\left\verti\right\vert }\left( \Omega\right)$.

P r z y k ł a d y (dla n=2)

1. (k=1)

Niech

$$a_{ij}=\left\{ \begin{array}[c]{cl}<tex2html_comment_mark>1993 1 ......ight) \text{,}\\ 0 & \text{w pozosta\l ych przypadkach}. \end{array} \right.%%$$ (12.2)

Wtedy

$$Au=-\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left( \frac{\partial u}{\part......rac{\partial u}{\partialx_{2}}\right) =-\Delta u\text{ (operator Laplace'a)}.$$
2. (k=2)

Niech

$$a_{ij}=\left\{ \begin{array}[c]{cl}<tex2html_comment_mark>1996 1 ......w pozosta\l ych przypadkach.}<tex2html_comment_mark>1997 \end{array} \right.%%$$ (12.3)

Wtedy

$$Au =\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\left( \frac{\partial^{2}......artial x_{2}}\left( \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}\right) =$$

$$=\frac{\partial^{4}u}{\partial x_{1}^{4}}+2\frac{\partial^{4}u}{\......frac{\partial^{4}u}{\partial x_{2}^{4}}<tex2html_comment_mark>2001 =\Delta^{2}u$$

U w a g a

Operator $A$ nie wyznacza jednoznacznie przedstawienia (12.1). Dla każdego operatora można na ogół wybrać różne reprezentacje, w zależności od prowadzonych rozważań. Np. operator Laplace'a może być otrzymany również przez przyjęcie współczynników $a_{ij}$ jako

$$a_{ij}=\left\{ \begin{array}[c]{rl}<tex2html_comment_mark>2003 1 ......}j=\left( 1,0\right) \text{.}<tex2html_comment_mark>2004 \end{array} \right.%%$$ (12.4)

 

D e f i n i c j a

Mówimy, że operator $A$ określony równością (12.1) jest eliptyczny w punkcie $x=\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego układu $\xi=\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}\right) \neq0$ zachodzi

$$<tex2html_comment_mark>2006 {\displaystyle\sum\limits_{\left\vert......ft\vert j\right\vert =k}} a_{ij}\left( x\right) \hat{\xi}_{i}\hat{\xi}_{j}\neq0$$ (12.5)

gdzie $\hat{\xi}_{i}=\xi_{1}^{i_{1}}\cdot\ldots\cdot\xi_{n}^{i_{n}}$,$\hat{\xi}_{j}=\xi_{1}^{j_{1}}\cdot\ldots\cdot\xi_{n}^{j_{n}}$.
 

D e f i n i c j a

Mówimy, że operator $A$ określony równością (12.1) jest jednostajnie eliptyczny w obszarze $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba $c>0$ zależna tylko od obszaru $\Omega$ i wpółczynników $a_{ij}$ taka, że dla prawie wszystkich punktów $x=\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ i dla wszystkich $\xi=\left( \xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}\right)$ zachodzi

$$<tex2html_comment_mark>2011 {\displaystyle\sum\limits_{\left\vert......\left( x\right) \hat{\xi}_{i}\hat{\xi}_{j}\geq c\left\vert \xi\right\vert ^{2k}$$ (12.6)

gdzie $\left\vert \xi\right\vert ^{2}=\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\ldots+\xi_{n}^{2}$.

P r z y k ł a d y

1. Operator Laplace'a $-\Delta$ jest jednostajnie eliptyczny w dowolnym obszarze, ponieważ
$$%%{\displaystyle\sum\limits_{\left\vert i\right\vert ,\left\vert......\xi}_{i}\hat{\xi}_{j}=\xi_{1}^{2}+\xi_{2}%%^{2}=\left\vert \xi\right\vert ^{2}$$, tak więc można przyjąć $c=1$.
Uwaga: Według powyższej definicji operator $\Delta$ nie jest jednostajnie eliptyczny.
2. Operator biharmoniczny jest jednostajnie eliptyczny, ponieważ
$$%%{\displaystyle\sum\limits_{\left\vert i\right\vert ,\left\vert......}^{4}=\left( \xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}\right) ^{2}=\left\vert\xi\right\vert ^{4}$$.
3. Operator
$$Au=-\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left[ \left( 1+x_{1}^{2}\righ......partial u}{\partial x_{1}}\right] +3\frac{\partial^{2}u}{\partialx_{2}^{2}}%%$$ nie jest eliptyczny, gdyż $$%%{\displaystyle\sum\limits_{\left\vert i\right\vert ,\left\vert......hat{\xi}_{i}\hat{\xi}_{j}=\left( 1+x_{1}^{2}\right)\xi_{1}^{2}-3\xi_{2}^{2}%%$$ i dla pewnych $\xi_{1}$, $\xi_{2}$ wyrażenie to może przyjmować wartość zero.