Spis rzeczy

Subsections

• Słabe rozwiązanie równania różniczkowego
• Stabilne i niestabilne warunki brzegowe
• Słabe rozwiązania zagadnień brzegowych
• Zagadnienie Dirichleta dla równania Poissona
• Zagadnienie Neumanna dla równania Poissona
• Zagadnienie Newtona dla równania Poissona
• Definicja słabego rozwiązania zagadnienia brzegowego - przypadek ogólny

Wprowadzenie definicji słabego rozwiązania

Słabe rozwiązanie równania różniczkowego

Rozpoczniemy od rozważenia kilku przypadków szczególnych. Na początek rozważmy równanie Poissona postaci

$$-\Delta u=f$$ (12.7)

Niech $u\in C^{2}\left( \Omega\right)$, $f\in C\left( \Omega\right)$,$u$ - będzie rozwiązaniem klasycznym tego równania. Niech ponadto$\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$. Wówczas

$$-<tex2html_comment_mark>2035 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} ......udx=<tex2html_comment_mark>2039 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \varphi fdx$$ (12.8)

Stosując do lewej strony powyższej równości twierdzenie Greena postaci

$$%%{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}b\frac{\partial c}{\partia......}ds-%%{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}\frac{\partial b}{\partial x_{i}}cdx$$ dla $$b$$, $$c\in H^{1}\left(\Omega\right)$$ otrzymujemy $$-%%{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}\varphi\frac{\partial^{2}......}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}%%}dx\text{ \ dla }i=1,2,\ldots,n\text{.}%%$$ W takim razie z (12.8) wynika, że

$$<tex2html_comment_mark>2070 {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}} ......=<tex2html_comment_mark>2077 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \varphi fdx%%$$ (12.9)

dla dowolnej funkcji$\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$.

Tożsamość (12.9) ma sens nawet wtedy, gdy równanie (12.7) nie ma rozwiązań klasycznych należących do$C^{2}\left( \Omega\right)$ np. wtedy, gdy funkcja $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$ i $f$ nie jest funkcją ciągłą. W tym przypadku uzasadnione jest przyjęcie następującej definicji słabego (lub uogólnionego) rozwiązania rozważanego równania różniczkowego.
 
 

D e f i n i c j a

Niech $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$, $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$. Jeżeli dla każdej funkcji $\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$ zachodzi tożsamość (12.9), to mówimy, że $u$ jest słabym (uogólnionym) rozwiązaniem równania (12.7).
 

Koncepcja słabego rozwiązania jest znacznie ogólniejsza od koncepcji rozwiązania klasycznego, np. słabe rozwiązanie równania rzędu drugiego może nie posiadać pochodnych (nawet w sensie dystrybucyjnym) rzędu drugiego. Ponadto, jeżeli $u$ jest rozwiązaniem równania (12.7) w sensie powyższej definicji oraz$u\in C^{2}\left( \Omega\right)$, $f\in C\left( \Omega\right)$, to stosując ponownie wzór Greena łatwo pokazać, że $u$ jest także rozwiązaniem w sensie klasycznym.

Analogiczne rozważania przeprowadzić można np. w przypadku operatora biharmonicznego. Rozważmy równanie biharmoniczne

$$\Delta^{2}u=f$$ (12.10)

Mnożąc obie strony tego równania przez dowolną funkcję$\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$ i całkując otrzymujemy

$$<tex2html_comment_mark>2083 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \......udx=<tex2html_comment_mark>2087 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \varphi fdx$$ (12.11)

Stosując dwukrotnie wzór Greena do lewej strony równości (12.11) możemy napisać, że

$$%%{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}\varphi\Delta^{2}udx=%%{\......rphi}{\partial x_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{2}^{2}%%}\right) dx$$ tzn. tożsamość (12.11) może być zapisana w postaci

$$<tex2html_comment_mark>2102 {\displaystyle\sum\limits_{\left\vert......t) =<tex2html_comment_mark>2109 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \varphi fdx$$ (12.12)

gdzie $a_{ij}$ są takie jak w przykładzie 2.
 

Podobnie jak w przypadku operatora Laplace'a, możemy sformułować definicję słabego rozwiązania równania biharmonicznego (12.10) jako funkcji $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$ spełniającej tożsamość (12.12) dla każdej funkcji $\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$.

Sformułujemy teraz ogólną definicję słabego rozwiązania równania różniczkowego $Au=f$, gdzie $A$ jest operatorem eliptycznym rzędu $2k.\bigskip$

D e f i n i c j a

Niech $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$, $a_{ij}$ - ograniczone i mierzalne na $\Omega$. Mówimy, że $u\in H^{k}\left( \Omega\right)$ jest słabym rozwiązaniem równania $Au=f$, gdzie

$$A=%%{\displaystyle\sum\limits_{\left\vert i\right\vert ,\left\ve...... k}}\left( -1\right) ^{\left\vert i\right\vert }D^{i}\left( a_{ij}D^{j}\right)$$, wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej funkcji$\varphi\in C_{0}^{\infty}\left( \Omega\right)$ zachodzi tożsamość

$$<tex2html_comment_mark>2119 {\displaystyle\sum\limits_{\left\vert......t) =<tex2html_comment_mark>2126 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \varphi fdx$$ (12.13)

Szczególnymi przypadkami tożsamości (12.13) są tożsamości (12.9) i (12.12) definiujące słabe rozwiązania równania Poissona i równania biharmonicznego.

Stabilne i niestabilne warunki brzegowe

Wszystkie zagadnienia brzegowe dla równań różniczkowych cząstkowych zawierają w swoich sformułowaniach pewne tzw. warunki brzegowe. Warunki te najczęściej dotyczą wartości funkcji niewiadomej i jej pochodnych na brzegu obszaru lub na pewnej krzywej zawartej w obszarze. Warunki brzegowe dzielimy na warunki stabilne i warunki niestabilne.

D e f i n i c j a

Warunki brzegowe dla równania rzędu $2k$ nazywamy stabilnymi wtedy i tylko wtedy gdy nie zawierają one pochodnych rzędu wyższego niż $k-1$.

Typowym przykładem stabilnego warunku brzegowego jest warunek występujący w zagadnieniu Dirichleta dla równania Laplace'a (k=1)

$$\Delta u=0$$, dla $$x\in\Omega$$, $$u_{\vert\partial\Omega}=g$$. Dla równań rzędu $2k$ stabilnymi będą warunki postaci

$$u_{\vert\partial\Omega}=g,\,\frac{\partial u}{\partial\nu}_{\vert......\ldots,\frac{\partial^{k-1}u}{\partial\nu^{k-1}}_{\vert\partial\Omega }=g_{k-1}$$ (12.14)

gdzie $\nu$ oznacza wektor normalny zewnętrzny do brzegu $\partial\Omega$. Warunki te należy rozumieć w sensie śladu, ponieważ funkcje z przestrzeni $H^{k}\left( \Omega\right)$ wyznaczają na brzegu$\partial\Omega$ ślady swoich pochodnych do rzędu $\left(k-1\right)$ włącznie.

U w a g a

Jeżeli $u_{n},\,u\in H^{1}\left( \Omega\right)$ oraz $u_{n}\rightarrowu$ w przestrzeni $H^{k}\left( \Omega\right)$, to z ciągłości operatora śladu wynika (patrz nierówność (11.8)), że$D^{\alpha}u_{n\vert\partial\Omega}\rightarrow D^{\alpha}u_{\vert\partial\Omega}$ w$L^{2}\left( \partial\Omega\right)$ dla takich wielowskaźników$\alpha$, że $\left\vert \alpha\right\vert \leq k-1$. W szczególności, jeżeli $u_{n\vert\partial\Omega}=g$, to $u_{\vert\partial\Omega}=g$. Uzasadnia to przyjętą nazwę stabilnych warunków brzegowych.
 

D e f i n i c j a

Warunki brzegowe zawierające pochodne rzędu wyższego niż$\left(k-1\right)$ nazywane są niestabilnymi warunkami brzegowymi dla równania rzędu $2k$.

Warunki niestabilne nie mogą być rozumiane jako ślady funkcji, ponieważ funkcje z przestrzeni $H^{k}\left( \Omega\right)$ nie wyznaczają śladów pochodnych rzędu wyższego niż$\left(k-1\right)$. Następujący przykład świadczy o tym, że jeśli ciąg funkcji $u_{n}$ zbiega do $u$ w $H^{k}\left( \Omega\right)$ oraz jeśli każda z funkcji $u_{n}$ spełnia w sensie śladu pewne warunki brzegowe z pochodnymi rzędu wyższego niż$\left(k-1\right)$, to funkcja graniczna $u$ nie musi spełniać tych warunków (stąd warunki te zwane są niestabilnymi).

P r z y k ł a d

Niech k=1, $\Omega=\left[ -1,1\right]$, $u\left( x\right) =1-x^{2}$,

$$u_{n}\left( x\right) =\left\{\begin{array}[c]{lc}%%1-x^{2}......}\right. \text{ \ i przed\l u\.{z}ona do funkcji parzystej.}%%$$ Łatwo sprawdzić, że $$\Vert u-u_{n}\Vert_{1,2}\leq\frac{32}{n^{3}}+\frac{32}{n}$$, zatem $u_{n}\rightarrowu$ w $H^{1}\left(\Omega\right)$. Oczywiście$u_{n}\left( -1\right) =u_{n}\left( 1\right) =\frac{1}{n}\rightarrow0=u\left( 1\right) =u\left( -1\right)$, ale $$u_{n}^{\prime}\left( -1\right) =u_{n}^{\prime}\left( 1\right) =0$$, $$u^{\prime}\left( 1\right) =-2$$, $$u^{\prime}\left( -1\right)=2$$.

Słabe rozwiązania zagadnień brzegowych

Rozważmy równanie

$$Au=f$$ (12.15)

gdzie $A$ jest operatorem eliptycznym rzędu $2k$ z warunkami brzegowymi, wśród których jest $\mu$ warunków stabilnych postaci

$$B_{1}u\left( s\right) =g_{1}\left( s\right)$$, $$B_{2}u\left(s\right) =g_{2}\left( s\right) ,\ldots,B_{\mu}u\left( s\right) =g_{\mu}\left( s\right) \text{ \ dla }s\in\partial\Omega$$ ($B_{1}$,$B_{2},\ldots,B_{\mu}$ są pewnymi operatorami różniczkowymi rzędu co najwyżej $\left(k-1\right)$). Oprócz tego dane jest $\left( k-\mu\right)$ warunków brzegowych niestabilnych, scharakteryzowanych przez funkcje $h_{1}$, $h_{2},\ldots,h_{k-\mu}$.

Na początek rozważymy kilka szczególnych przypadków zagadnień brzegowych.

Zagadnienie Dirichleta dla równania Poissona

Rozważmy zagadnienie (ze stabilnym warunkiem brzegowym)

$$-\Delta u=f x\in\Omega u_{\vert\partial\Omega}<tex2html_comment_mark>2142 =g$$ (12.16)

Niech $v\in V=\left\{ u\in H^{1}\left( \Omega\right) :\,u_{\vert\partial\Omega}=0\right\}$. Przypuśćmy, że $f$, $g\in C\left( \Omega\right)$, $u\in C^{2}\left( \Omega\right)$ jest klasycznym rozwiązaniem zagadnienia (12.16). Stosując wzór Greena otrzymujemy

$$-<tex2html_comment_mark>2144 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} v\Delta udx =<tex2html_comment_mark>2148 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} vfdx$$

$$<tex2html_comment_mark>2152 {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}} ......_{\Omega}} \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx =<tex2html_comment_mark>2159 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} vfdx%%$$ (12.17)

(porównaj wyprowadzenie wzoru (12.9)). Łatwo zauważyć, ze całki występujące po prawej stronie wzoru (12.17) są poprawnie określone dla $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$ i $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$.

Niech $g$ będzie śladem pewnej funkcji $w\in H^{1}\left(\Omega\right)$ i niech $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$. Przyjmujemy następującą definicję.
 

D e f i n i c j a

Funkcję $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$ nazywamy słabym rozwiązaniem zagadnienia (12.16) wtedy i tylko wtedy gdy

1. $u-w\in H^{1}\left( \Omega\right)$,
2. dla każdej funkcji $v\in V$ spełniona jest równość (12.17).

 

U w a g a

Problem istnienia rozwiązania zagadnienia Dirichleta sprowadza się do tego, czy dana funkcja $g$ jest śladem pewnej funkcji $w\in H^{1}\left(\Omega\right)$. Jeśli tak jest, to pokażemy później, że wystarcza to do istnienia rozwiązania.

Zagadnienie Neumanna dla równania Poissona

Rozważmy zagadnienie (z niestabilnym warunkiem brzegowym)

$$-\Delta u=f x\in\Omega \frac{\partial u}{\partial\nu }_{\vert\partial\Omega}=h$$ (12.18)

Niech $v\in V=H^{1}\left( \Omega\right)$. Przypuśćmy, że $f$,$h\in C\left( \Omega\right)$, $u\in C^{2}\left( \Omega\right)$ jest klasycznym rozwiązaniem zagadnienia (12.18). Ponieważ

$$\frac{\partial u}{\partial\nu}=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\nu_{i}$$, więc stosując, podobnie jak poprzednio, wzór Greena otrzymujemy.

$$-<tex2html_comment_mark>2170 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} v\Delta udx =-<tex2html_comment_mark>2174 {\displaystyle\int\limits_{\partial......{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}<tex2html_comment_mark>2185 }dx$$

$$<tex2html_comment_mark>2186 {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}} ......_{\Omega}} \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx =<tex2html_comment_mark>2193 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} vfdx+<tex2html_comment_mark>2197 {\displaystyle\int\limits_{\partial\Omega}} vhds$$ (12.19)

Rezygnując z założenia o ciągłości danych funkcji $f$ i$h$ możemy sformułować definicję.
 
 

D e f i n i c j a

Niech $h\in L^{2}\left( \partial\Omega\right)$, $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$. Słabym rozwiązaniem zagadnienia (12.18) nazywamy taką funkcję $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$, że dla dowolnej funkcji $v\in V$ spełniona jest równość (12.19).
 
 

U w a g a

Rozwiązania zagadnienia Neumanna nie można zdefiniować za pomocą założenia o istnieniu takiej funkcji $w\in H^{1}\left(\Omega\right)$, że $\frac{\partial w}{\partial\nu}_{\vert\partial\Omega}=h$, ponieważ funkcje z przestrzeni $H^{1}\left(\Omega\right)$ nie wyznaczają śladów swoich pochodnych pierwszego rzędu na brzegu$\partial\Omega$.

Zagadnienie Newtona dla równania Poissona

Rozważmy zagadnienie (z niestabilnym warunkiem brzegowym)

$$-\Delta u=f x\in\Omega \left( \frac{\partial u}{\partial\nu}+\sigma u\right) _{\vert\partial\Omega}=h$$ (12.20)

Niech $v\in V=H^{1}\left( \Omega\right)$. Przypuśćmy, że $f$,$h\in C\left( \Omega\right)$, $u\in C^{2}\left( \Omega\right)$ jest klasycznym rozwiązaniem zagadnienia (12.20). Ponieważ

$$\frac{\partial u}{\partial\nu}=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\nu_{i}$$, więc

$$<tex2html_comment_mark>2208 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} vfdx =-<tex2html_comment_mark>2212 {\displaystyle\int\limits_{\Omega}}......\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}<tex2html_comment_mark>2227 }dx=$$

$$=<tex2html_comment_mark>2228 {\displaystyle\int\limits_{\partial\......{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}<tex2html_comment_mark>2243 dx$$ (12.21)

Zapiszmy ostatnią równość w postaci

$$A\left( v,u\right) +a\left( v,u\right) =<tex2html_comment_mark>22......dx+<tex2html_comment_mark>2249 {\displaystyle\int\limits_{\partial\Omega}} vhds$$ (12.22)

gdzie

$$A\left( v,u\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}{\dis......_{\Omega}}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx$$, $$a\left( v,u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{\partial\Omega}}\sigma uvds$$. Wyrażenie $a\left( v,u\right)$ jest tzw. brzegową ciągłą formą dwuliniową określoną na $H^{1}\left(\Omega\right)$ taką, że $\left\vert a\left( v,u\right) \right\vert \leq C\Vertv\Vert_{1,2}\Vert u\Vert_{1,2}$.

Rezygnując z założenia o ciągłości danych funkcji $f$ i$h$ możemy sformułować definicję.
 

D e f i n i c j a

Niech $h\in L^{2}\left( \partial\Omega\right)$, $\sigma\in C\left(\partial\Omega\right)$, $f\in L^{2}\left( \Omega\right)$. Słabym rozwiązaniem zagadnienia (12.20) nazywamy taką funkcję $u\in H^{1}\left( \Omega\right)$, że dla dowolnej funkcji $v\in V$ spełniona jest równość (12.22).

Definicja słabego rozwiązania zagadnienia brzegowego - przypadek ogólny

Rozważone powyżej przypadki zagadnień brzegowych prowadzą do sformułowania ogólnej definicji słabego rozwiązania zagadnienia brzegowego.

Rozważmy równanie

$$Au=f x\in\Omega$$ (12.23)

gdzie $A$ jest operatorem eliptycznym rzędu $2k$ postaci (12.1) z warunkami brzegowymi, wśród których jest $\mu$ warunków stabilnych postaci

$$B_{1}u=g_{1} B_{2}u=g_{2},\ldots,B_{\mu}u=g_{\mu}%%$$ (12.24)

($B_{1}$, $B_{2},\ldots,B_{\mu}$ są pewnymi operatorami różniczkowymi rzędu co najwyżej $\left(k-1\right)$). Oprócz tego dane jest $\left( k-\mu\right)$ warunków brzegowych niestabilnych, scharakteryzowanych przez funkcje $h_{1}$, $h_{2},\ldots,h_{k-\mu}\inL^{2}\left( \partial\Omega\right)$.

Niech

$$V=\left\{ v\in H^{k}\left( \Omega\right) :B_{1}v=0,\,B_{2}v=0,\ldots ,B_{\mu}v=0\text{ w sensie \'{s}ladu na }\partial\Omega\right\} \text{.}%%$$ (12.25)

Niech $A\left( v,u\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{\left\vert i\right\vert ,\le......t\vert \leq k}}{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}a_{ij}D^{i}\varphi D^{j}udx$ oraz $a\left( v,u\right)$ będzie brzegową ciągłą formą dwuliniową określoną na$H^{k}\left( \Omega\right)$.
Niech $w\in H^{k}\left(\Omega\right)$ będzie taką funkcją, że

$$B_{1}w=g_{1} B_{2}w=g_{2},\ldots,B_{\mu}w=g_{\mu} \partial\Omega$$ (12.26)

D e f i n i c j a (przypadek ogólny)

Mówimy, że $u\in H^{k}\left( \Omega\right)$ jest słabym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego określonego przez powyższe dane wtedy i tylko wtedy gdy $u-w\in V$ oraz dla każdej funkcji $v\in V$ zachodzi tożsamość

$$A\left( v,u\right) +a\left( v,u\right) =<tex2html_comment_mark>22......mits_{\partial\Omega}} \frac{\partial^{t_{i}}v}{\partial\nu^{t_{i}}}h_{i}ds.%%$$ (12.27)