Spis rzeczy

Istnienie słabych rozwiązań zagadnień brzegowych

W dowodzie istnienia i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia brzegowego ważną rolę odgrywa pojęcie tzw. form V-eliptycznych.
 
 

D e f i n i c j a

Niech dana będzie przestrzeń Hilberta $V$ i dwuliniowa forma $\left(\left( v,u\right) \right)$ określona na tej przestrzeni. Mówimy, że forma $\left(\left( v,u\right) \right)$ jest $V-$eliptyczna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje stała $\alpha>0$ taka, że dla każdej funkcji $v\in V$ zachodzi nierówność

$$\left( \left( v,v\right) \right) \geq\alpha\Vert v\Vert_{V}^{2}%%$$ (12.28)

T w i e r d z e n i e (Laxa-Milgrama)

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\left(v,u\right)$. Niech $B\left( v,u\right)$ będzie formą dwuliniową określoną na $H\times H$ taką, że

$$\left\vert B\left( v,u\right) \right\vert \leq K\Vert v\Vert\Vert u\Vert B\left( v,v\right) \geq\alpha\Vert v\Vert_{V}^{2}$$ (12.29)

Wówczas każdy funkcjonał liniowy $F$ ograniczony na $H$ może być przedstawiony w formie

$$F\left( v\right) =B\left( v,z\right) v\in V$$ (12.30)

gdzie element $z\in H$ jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcjonał $F$. Ponadto zachodzi nierówność

$$\Vert z\Vert\leq\frac{\Vert F\Vert}{\alpha}$$ (12.31)

Dowód twierdzenia oparty jest na zastosowaniu twierdzenia Riesza dla reprezentacji funkcjonału liniowego w przestrzeniach Hilberta.
 
 

T w i e r d z e n i e (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia brzegowego)

Niech zgodnie z definicją słabego rozwiązania (12.27) dane będzie zagadnienie brzegowe dla operatora eliptycznego rzędu $2k$. Jeśli forma $\left( \left( v,u\right) \right) =A\left( v,u\right)+a\left( v,u\right)$ jest $V-$eliptyczna wtedy dany problem posiada dokładnie jedno słabe rozwiązanie $u\in H^{k}\left( \Omega\right)$ i istnieje stała $C>0$ niezależna od $f$ i $h_{i}$ taka, że

$$\Vert u\Vert_{k,2}\leq C\left( \Vert f\Vert_{L^{2}\left( \Omega\r......its_{i=1}^{k-\mu}} \Vert h_{i}\Vert_{L^{2}\left( \partial\Omega\right) }\right)$$ (12.32)

Dowód istnienia rozwiązania polega na zastosowaniu twierdzenia Laxa-Milgrama do funkcjonału $F$ postaci

$$F\left( v\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{\Omega}}vfdx+%%......partial^{t_{i}}v}{\partial\nu^{t_{i}}}h_{i}ds-\left( \left(v,w\right) \right)$$ i formy $B\left( v,u\right) =\left( \left( v,u\right) \right)$. Jednoznaczność rozwiązania wynika natychmiast z zastosowania nierówności $$0=\left( \left( u_{1}-u_{2},u_{1}-u_{2}\right) \right) \geq\alpha\Vertu_{1}-u_{2}\Vert_{V}^{2}%%$$ dla dwóch rozwiązań $u_{1}$ i $u_{2}$ rozważanego zagadnienia. Stała $C$ jest postaci $C=\frac{1}{\alpha}M$, gdzie $M$ jest dowolną stałą ograniczającą z góry normę $\Vert F\Vert$.