Spis rzeczy

Subsections

• Zagadnienie Dirichleta dla równania Poissona
• Zagadnienie Neumanna dla równania Poissona
• Zagadnienie Newtona dla równania Poissona

Przykłady zagadnień brzegowych - analiza rozwiązalności

Zagadnienie Dirichleta dla równania Poissona

Rozważamy zagadnienie (ze stabilnym warunkiem brzegowym) $$-\Delta u=f$$, dla $$x\in\Omega$$, $$u_{\vert\partial\Omega}=g$$. Niech $v\in V=\left\{ u\in H^{1}\left( \Omega\right) :\,u_{\vert\partial\Omega}=0\right\}$, $w\in H^{1}\left(\Omega\right)$ taka, że$w_{\vert\partial\Omega}=g$. Wtedy z (12.17) wynika, że $a\left(v,u\right) =0$ oraz $$\left( \left( v,u\right) \right) =A\left( v,u\right) =%%{\displa......_{\Omega}}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx$$. Forma $\left(\left( v,u\right) \right)$ jest $V-$eliptyczna, ponieważ dla dowolnej funkcji $v$ z przestrzeni $V$, na mocy nierówności Friedrichsa (11.10) prawdziwe jest oszacowanie postaci $$\left( \left( v,v\right) \right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{i......artial v}{\partial x_{i}}\right) ^{2}dx\geq\frac{1}{k}\Vertv\Vert_{1,2}^{2}%%$$ dla pewnej stałej dodatniej $k$.

W takim razie z istnienia funkcji $w\in H^{1}\left(\Omega\right)$ takiej, że jej śladem na brzegu $\partial\Omega$ jest $g$, wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania tego zagadnienia.

Zagadnienie Neumanna dla równania Poissona

Rozważmy zagadnienie (z niestabilnym warunkiem brzegowym) $$-\Delta u=f$$, dla $$x\in\Omega$$, $$\frac{\partial u}{\partial\nu}_{\vert\partial\Omega}=h\text{.}%%$$ Niech $v\in V=H^{1}\left( \Omega\right)$. Wtedy $a\left(v,u\right) =0$ oraz $$\left( \left( v,u\right) \right) =A\left( v,u\right) =%%{\displa......_{\Omega}}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx$$. W tym przypadku forma $\left(\left( v,u\right) \right)$ nie jest$V-$eliptyczna, ponieważ dla $a\neq0$ funkcja stała $v\equiv a$ spełnia warunek $\left( \left( v,v\right) \right) =0$, ale $\Vert v\Vert\neq0$. Oznacza to, że nie można stosować twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia brzegowego.

Wykazanie rozwiązalności zagadnienia Neumanna wymaga przyjęcia pewnych dodatkowych założeń, których nie będziemy w tym miejscu omawiać. W przypadku klasycznym warunkiem tym jest równość (7.24).

Zagadnienie Newtona dla równania Poissona

Rozważmy zagadnienie (z niestabilnym warunkiem brzegowym) $$-\Delta u=f$$, dla $$x\in\Omega$$, $$\left( \frac{\partialu}{\partial\nu}+\sigma u\right) _{\vert\partial\Omega}=h\text{.}%%$$ Niech $v\in V=H^{1}\left( \Omega\right)$. Wtedy, zgodnie z równością (12.22) $$A\left( v,u\right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}{\dis......_{\Omega}}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx$$, $$a\left( v,u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{\partial\Omega}}\sigma uvds$$, zatem $$\left( \left( v,u\right) \right) =%%{\displaystyle\sum\limits_{i......u}{\partial x_{i}}dx+%%{\displaystyle\int\limits_{\partial\Omega}}\sigma uvds$$. Załóżmy ponadto, że we wszystkich punktach $P\in\partial\Omega$ spełniona jest nierówność $\sigma\left( P\right) \geq\sigma_{0}>0$. Oznaczając $C=\min\left\{ 1,\sigma_{0}\right\}$ i stosując nierówność Friedrichsa (11.10) otrzymujemy $$\left( \left( v,v\right) \right) \geq {\displaystyle\sum\limits_{......imits_{\partial\Omega}}v^{2}ds\right) \geq\frac{C}{k}\Vert v\Vert_{1,2}^{2}%%$$ co dowodzi $V-$eliptyczności formy $\left(\left( v,u\right) \right)$. Oznacza to, że rozważany problem posiada jednoznaczne rozwiązanie.